Bestämma funktion utifrån mätvärden

Hej!
Experiment: "Metallpinne" spänns fast i två punkter så att pinnen är fri på ena sidan. På denna sida trycker jag ner pinnen och släpper så att den börjar dallra och mäter sedan frekvensen med laser. Har gjort tester och sammanställt i tabeller med mätvärden där jag först varierar längden på den utstickande pinnen och i nästa tabell ändrar jag tjockleken på pinnen (Ex från 20mm x 4mm till 20mm x 5.5mm).

Jag vill nu hitta en funktion som beskriver sambandet mellan längd, tjocklek och frekvens?
Har jag missat någon variabel som har påverkan på frekvensen?

Det som framförallt saknas är någon lämplig materialkonstant för ”pinnen”.
Svänger en aluminiumstav och stålstav (med samma mått) med samma frekvens?

Lägg gärna upp en bild på uppställningen!
Kan du variera avståndet mellan fästpunkterna?

Okej, inte fått någon information om vilket specifik material dessa "pinnar" är gjorda av, men samtliga pinnar är av samma material.
Avståndet mellan fästpunkterna kan ej varieras.
Min idé är att sätta F = k * (L^x) * (H^z) (L=längd, H=höjd/tjocklek)
Är jag helt ute och cyklar då?

Antar att F står för frekvensen, kanske lämpligt med litet 'f' då.
Dimension: [f] = 1/T, så

1/T = k (L^x)(H^z) = k L^(x+z); tjockleken har också dimensionen 'längd'.

Om det här skall gå ihop bör k bero av tiden T.
Sök: "elasticitetsmodul"

Japp, du behöver ha med elasticitetmodulen E i detta, men då får man även in massenheter i sambanden, som du dock kan kompensera för om man också tar med densiteten ρ. Vilket ju är helt rimligt, för allmännt med svängande fjädrar och massor så behöver man ju både en fjäderkonstant k (som ju beror på E) och den svängande massan m (som beror på ρ).

Faktiskt kan man nog gissa hur det sökta sambandet ser ut här om man bara känner till hur det ser ut för en svängande massa i en fjäder:

f = 1/T = 1/(2π) √(k/m)

Konstanten har nog ett annat värde (pga annan geometri).

m = ρH²L
k = EH²/L
dvs k/m = E/(ρL²)

Så alltså bör vi ha

f = c/L

där c är en materialberoende konstant (som är proportionell mot √(E/ρ) ).

Vill man göra det mer ordentligt så har problemet 2 oberoende dimensionslösa storheter, som t ex kan skrivas som
H/L
och
f²Hρ/E
(dvs om vi nu har med allt som kan påverka...).

Formeln som sökes måste då vara av slaget

f²Hρ/E = F(H/L)

där funktionen F(x) i princip kan vara vilken funktion som helst. Plotta data för y=f²H mot x=H/L för att se hur kurvan ser ut! Är den rät så är man nästan klar, bara att ta reda på linjens parametrar.
Är det en kurva är det kanske en potensfunktion y=kxʳ, och då är det bäst om man istället plottar ln(y) mot ln(x). Om DET är en rät linje, så är r=linjens lutningskoefficient.

Är du säker på det – alltså att H/L uppträder som en variabel?

Hmm.. H/L är nog ok, men just nu är jag lite oroad för om jag har räknat fel med den andra dimensionslösa storheten. Vad får du själv fram för dimensionslösa storheter från f, L, H, E, ρ? Eller utgår du från något annat? Glöm inte heller att F(x) kan vara en konstant.

Fick [f²Hρ/E] = 1/Längd

Om den vibrerande delen av ”pinnen” har längden ℓ och cirkulärt tvärsnitt med diametern h skulle jag satsa på

f²ℓ²ρ/E och F(h/ℓ); längre pinne bör ge lägre frekvens.

"Pinnen" har formen som ett långt utdraget rätblock, (ex. 1000mm x 20mm x 5mm) så det jag har tagit med är då höjd och utstickande längd. Mått görs med hjälp av analogt skjutmått samt lång linjal så det blir inte några speciellt exakta värden på till exempel densitet om jag skulle vilja få ut det.

f= k*L^x*h^z => 1/T = [k] * L^x * L^z
Jag tänker att k då har dimensionen 1/(T*L^(x+z)), känns dock kontigt.

Bra val. Fast f²h²ρ/E och F(h/ℓ) funkar också, eftersom
f²ℓ²ρ/E = F(h/ℓ)
kan skrivas om till
f²h²ρ/E = (h/ℓ)²F(h/ℓ)
där högerledet är en funktion av h/ℓ ...

(Räknade fel förut när jag sökte dimensionslösa storheter genom att ta fram lösningar till
[fᵃhᵇℓᶜρᵈEᵉ] = 1.)