Hitta max- och minpunkterna från en trigonometrisk funktion

Ekvationen i fråga är:

f(x) = (a-b*Cos(x)) / (c-d*Cos(x))*L

Vi ska alltså hitta lösningarna till f'(x) = 0

Jag tror att konstanterna a,b,c,d,e kan sättas = 1, för att förenkla och utan att det ändrar svaret. Originalvärdena är dock (a,b,c,d,L) = (1.01 , 0.2 , 1.04 , 0.4 , lambda) men man kan nog ta vilka konstanter som man känner för som sagt.

Jag får att derivatan blir:

f'(x) = L*( sin(x)*(bc-bd) ) / ( c-d*cos(x) )^2 = 0

Härifrån blir det problem då jag inte vet vad jag får förenkla bort. Hade jag fått välja hade jag bara gjort mig av med nämnaren på en gång så att man får:

sin(x) = 0 -> x = arcsin(0)+2pi*n

Men svaret ska vara x= pi*n så jag misstänker att det ska vara en tangens eller något istället? Sen är det ju lite klurigt att veta vad som är max och min också då vi har oändligt med punkter...

Lägg frågan i matteuppgifttråden istället. Du får snabbare svar. Tror det enklare flytta fram konstanterna framför det du vill derivera.

sin(x) = 0 då x = ..., -2π, -π, 0, π, 2π, ...

Men denna wikipediasida säger att x = n*2pi ?

Om du tittar under "general solutions"

https://en.wikipedia.org/wiki/Invers...tric_functions

hmm...

Ja, sin(x) har perioden 2π. Men ekvationen sin(x) = 0 har lösningarna x = kπ (k heltal):
https://sv.wikipedia.org/wiki/Sinus#...one_period.svg

Derivatan är nästan rätt, men räkna med värden istället.

Multiplicera täljare och nämnare med 100 och då L är en skalfaktor kan vi sätta den till 1 tillsv. Vi antar att L>0, i annat fall blir resonemanget "spegelvänt".

f[x] := (101 - 20 Cos[x])/(104 - 40 Cos[x])

f'[x] = -((245 Sin[x])/(8 (13 - 5 Cos[x])^2)) = -Sin[x] * g[x]
där g[x]>0 för alla x.
Notera att f'[x] är definierad för alla x då nämnaren ej kan bli 0.

f'[x] = 0
<=>
Sin[x] = 0
<=>
x = nπ, n heltal

Eftersom f[x] och f'[x] båda är 2π-periodiska räcker det att studera dem på intervallet [0,2π).

Studera grafen y = -Sin[x] på intervallet [0,2π)
y<0 på intervallet (0,π)
y>0 på intervallet (π,2π)

Alltså är f[x] strängt avtagande på intervallet (0,π) och strängt växande på intervallet (π,2π).

Lokal minimipunkt x=π
Lokal maximipunkt x = 0

Tillhörande funktionsvärden är;

f[π] = (101 - 20 Cos[π])/(104 - 40 Cos[π]) = (101 - 20(-1))/(104 - 40(-1)) = (101+20)/(104+40) = L 121/144 = (11/12)^2

f[0] = (101 - 20 Cos[0])/(104 - 40 Cos[0]) = (101 - 20(+1))/(104 - 40(+1)) = (101-20)/(104-40) = 81/64 = (9/8)^2.

Sätt in faktorn L igen då vi antog L=1 ovan i f[x];

Lokala minima: (π+2nπ,(11/12)^2L)= ((2n+1)π,(11/12)^2L), n heltal
Lokala maxima: (0+2nπ,(9/8)^2L) = (2nπ,(9/8)^2L), n heltal