Pendelns rörelseekvation

När man tror sig ha lite koll på mekanik så ska det såklart komma nya problem som sätter käppar i maskineriet.

Vi tänker oss en enkel pendel med punktmassa och viktlös stång som pendlar pågrund av gravitationskraften. Hur kan man skriva upp ett samband mellan acceleration och position i kartesiska koordinater?

Jag har gjort ett försök här:

https://drive.google.com/file/d/1CiT...ew?usp=sharing

-Jag har först delat upp gravitationskraften i två komposanter. En i samma riktining som massan rör sig i, F_f, och en i riktningen som pendelsnöret pekar i, F_r.
-Jag tänker mig att F_r inte kan tillföra någon rörelsekraft åt massan eftersom den pekar rakt utmed snöret.
-Kraften F_f har jag därför delat upp i två ytterligare komposanter som jag tänker mig är F_x1, kraften i x1-led, och F_x2, kraften i x2-led.

Det slutliga uttrycket jag får fram är (kolla bilden jag länkat för detaljer):

g*sin(v)^2 = a_x2
-g*sin(v)*cos(v) = a_x1

Ytterligare förenkling ger mig:

v = arctan(a_x2/-a_x1)+-pi (vilket dock inte hjälper mig nåt)

Ekvationerna känns rimliga då jag tittar på graferna men jag kan inte validera dem på något sätt för att vara helt säker på om de stämmer. Enligt boken så ska ekvationerna dock ges av:

g*x1+a_x1*x2-x1*a_x2 = 0
x1^2+x2^2-L^2 = 0

Även om jag gör variabelbytet:
L*sin(v) = x1
L*cos(v) = x2
så liknar inte min ekvation bokens över huvudtaget.

Varför har jag så fel? Eller har jag fel?

Pendelkulan rör sig i en cirkelbana med radien L.

Verkande krafter på kulan: tyngdkraften mg OCH kraften S från stången.
Du kan alltså inte sätta F_r = 0!

I vilken riktning pekar S?

Enklast att teckna kulans rörelseekvationer i normal- och tangential-koordinater.

Hur kan stången verka på kulan med någon kraft? Den enda kraften här är ju gravitationen. Kraften som stången verkar med på kulan tänker jag mig är en motkraft till gravitationen, och inte en ny kraft som hjelst plötsligt uppstår eller?

Men F_r utför ju inget arbete? Det är ju som att man försöker öppna en dörr genom att dra handtaget i den riktning som dörren pekar tänker jag mig.

Om S är stångens kraft så pekar den väl i origos riktning? men ja...

Jag tror jag förstod.

Men det tog emot lite att tänka att motkraften till mg i stången ska räknas som en ny kraft. Så om jag formulerar om det ska jag tänka:

Kraft i x1 riktining blir: -T*sin(v) = m*a_x1 (x1-Kraftkomposanten från stången)

Kraft i x2 riktning blir: mg-T*cos(v) = m*a_x2 (x2-Kraftkomposanten från stången + gravitationskraften)

Men, hallå! Vad är det som tvingar kulan att röra sig i en cirkelbana? Säg att du har använt dåligt klister när du fäste kulan i stången. Vad händer med kulan när den släpper från stången?

PS. Läs på om partikelpendeln här: http://www.mek.lth.se/fileadmin/mek/...gsroerelse.pdf

Anm. Den länkade sidan visar hur pendelns rörelseekvation skrivs i planpolära koordinater. Härledningen blir något enklare om man använder nt-koordinater.

Tänker mig att stången är passiv och inte direkt innehåller nån kraft men antar att atombindningarna kanske får räknas som en kraft som aktiveras när man börjar rycka i ena änden. Är lite ointuitivt på något sätt dock.

Kan man kanske byta ut stången mot ett till gravitationsfält?

Varför krångla till problemet?
Är du med på att kulan får en accelerationskomponent i stångens riktning?

Det där verkar stämma om T är stångens kraft på kulan och om v = θ.
Rörelseekvationen för kulan saknas dock.

Stångkraften S ger inget bidrag till pendelkulans acceleration i banans tangentriktning, se figur
Kraftekvationen i t-led ger därmed

−mg sin(θ) = ma_t ... <=> ... −g sin(θ) = a_t

Återstår att uttrycka a_t i a1 och a2 för att bestämma det sökta sambandet.