Kan det finnas rationella platåer vid tetraering av irrationellt tal

Det är A^(A^A) som frågan gäller.

Om a och b är positiva heltal så har ekvationen b^a * x^b - a^a = 0 den algebraiska roten (a/b)^(a/b).

Låt säga att (a/b)^(a/b) är rationellt, dvs (a/b)^(a/b) = s/t, där a och b är positiva och relativt prima, och s och t också är positiva och relativt prima. En omskrivning ger

a^a * t^b = b^a * s^b.

Om b > 1, dvs om a/b ej är ett heltal, så kan vi låta p vara en primtalsfaktor i b. Eftersom a och b är relativt prima kan p inte dela a, så p måste dela t. Och eftersom s och t är relativt prima kan p inte dela s. Så om p har multipliciteten m i b och n i t så är bn = am, vilket innebär att b|m och att p^b|b. Detta är en motsägelse, så a/b är ett heltal.

Slutsats: Om x är ett positivt rationellt tal men ej ett heltal så är x^x irrationellt och algebraiskt.

Nu följer det av Gelfond-Schneiders sats att den positiva roten till exempelvis x^(x^x) = 2 är irrationell.