Kan det finnas rationella platåer vid tetraering av irrationellt tal

Jag menar alltså till exempel x^x^x^x... där x är sqrt(3). Kommer svaret alltid vara irrationellt oavsett hur många gånger "x^x..." upprepas eller kan det finnas en rationell platå av något slag efter viss tetraering av samma irrationella tal?

Rörigt inlägg. Varför skulle roten alltid vara irrationellt?
Massa heltal har som rot ett heltal.

Nej jag menar inte att roten alltid skulle vara rationell jag menar.

sqrt(3)^sqrt(3)=irrationellt tal
sqrt(3)^sqrt(3)^sqrt(3)=irrationellt tal
sqrt(3)^sqrt(3)^sqrt(3)^sqrt(3)=också irrationellt tal

Går det att fortsätta tetraeringen hur många steg som helst och alltid få ett irrationellt tal som svar eller går det att ha ett visst antal steg och som svar få ett rationellt tal.

Det fungerar endast om x=sqrt(2n), aldrig om x=sqrt (2n+1) (som i ditt fall).

Men hur kom du fram till att varje rotutdragning av ett rationellt talt är ett irrationellt tal?
Högre matematik.
Intressant hypotes, dock inte bevisad. Du kanske blir den första att bevisa detta?

Du har såklart rätt. Vi förutsätter därför att x är irrationellt, som sqrt (3).

Om x är ett algebraiskt tal så täcks detta av gelfond-schneiders sats. Då är x^x^x....^x irrationellt, till och med transcendentalt. Så alla irrationella tal av typen sqrt(x) där x rationellt täcks av detta.

Om x är irrationellt men inte algebraiskt och y är irrationellt är x^y inte nödvändigtvis irrationellt. Enkelt bevis följer nedan:

Sätt A=sqrt(2). Betrakta B=A^A.

B är antingen rationellt eller irrationellt.

Om B är rationellt är vi klara.

Om B är irrationellt så betraktar vi C=B^A=(A^A)^A=A^(A^2)=A^2=2.

I vilket fall finns ett tal av typen x^y rationellt trots x,y båda irrationella.

I själva verket vet vi ju från gelfond-schneiders sats att B är irrationellt så det är C=B^A som uppfyller vårt kriterium.

Men det löser ju inte ditt problem som inte gäller tal på formen x^y utan mer specifikt x^x osv. Där vet jag inte, sorry, intressant fråga dock, ska funta lite på det.

Alltså jag tänker ju fel, Gelfond-Schneider ger ju bara att x^x är irrationellt om x är algebraiskt.

Vi har ju ett exempel A=sqrt(2) då är A^A^A=2.

Om n är ett positivt heltal så är den positiva roten till x^x = n antingen irrationell eller ett heltal.

Bevis:

Antag att x är rationellt, dvs att det finns positiva och relativt prima heltal a och b sådana att x = a/b. Efter lite omskrivningar fås ekvationen a^a = b^a * n^b. Enligt en gammal delbarhetssats måste a vara delbart med b. Men a och b är ju relativt prima, så b = 1 och x = a.

Den positiva roten till x^x = 2 är inte ett heltal, så den måste vara irrationell. Som Smuts-Allan säger finns Gelfond-Schneiders sats som medför att den dessutom är transcendent.

Jo, men TS fråga handlar om fortsatta exponenter, x^x^x..., och om dessa uttryck kan ge rationella tal. Svaret är ja för vissa x, t.ex. sqrt(2).

Om vi håller oss till uttryck av typen sqrt(ett heltal), så tror jag att svaret alltid är ja för jämna heltal.

Om vi pratar om https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration så
är det A^(A^A) som är intressant, inte (A^A)^A (det föregående är inte 2 om A=sqrt(2))

Ja, vi behöver ett klarläggande från TS.

Jag antog att det är (A^A)^A som gäller. I så fall, om jag räknat rätt, borde uttryck där A=n:te roten ur B kunna ge rationella tal vid upprepad exponentiering, endast om B är ett heltal samt multipel av n.

I TS' fall: sqrt(3) går inte, men sqrt (2) är ok.