Kurkonstruktion - fråga om Df

Jag har en enkel fråga om defintionsmängden när man skall konstruera kurvor. Antag att jag har

y = ln(x^3 + 3x^2) = x^2 (x+3)

Skall jag kolla när det är skiljt från 0 för definitionsmängden i detta sambandet blir x=-3 och x>0

Nej, funktionen ln(x) är definerad när x > 0, alltså ska du ha x^3 + 3x^2 > 0 <=> x^2(x + 3) > 0, om x!=0 så är x^2 faktorn positiv och kan delas bort, alltså x + 3 > 0 <=> x > -3. Alltså är definitionsmängden alla reella x som är större än -3 men som inte är 0.

Ser du inte det direkt så kan du ju nyttja att:
ln(x^2(x + 3)) = ln(x^2) + ln(x + 3), ln(x^2) är definerad för alla x!=0, men faktorn x + 3 måste vara större än 0, alltså x + 3 > 0 <=> x > -3. Alltså ska x vara större än -3 men inte 0.

Såg att topicen var felstavat, det skall stå Kurvkonstruktion.

Okej Hedlund, det hade jag glömt. Jag har svårt för det här med definitionsmängden.

T.ex den här; y = (x+1)e^-x och här gäller det alltså att Df = R varför blir det för alla reella tal?

Dessa hänger jag fullkomligt med på; y = x^3 / x^2-2x-15
Df = x skiljt från -3 och x skiljt från 5

Ofta är det "rimlighetsaspekten" som avgör Df.

Man kan börja med att utgå från att Df = reella axeln. Och detta gäller såvida inget uppenbart orimligt dyker upp. Med "uppenbart orimligt" avses då uttryck såsom 1/0.

För y = (x+1)e^-x får vi inga orimligheter för något reellt x, så vi kan utgå från att formeln kan användas för alla reella x.

Däremot för t.ex. y = 1/(x+a)(x-b) får man orimligheter (här: otillåten division med noll) för x=-a samt x=b. Då måste dessa värden uteslutas ur definitionsmängden.

Ett lite annat exempel är y = ln x. Den naturliga logaritmen är definierad för x>0, däremot inte för x=0 eller x<0. Då är Df = R+ (nollan måste uteslutas)
.
Om man skriver y = ln|x| så är funktionen definierad för x≠0, dvs även för negativa x. Däremot är den fortfarande inte definierad för x=0. Då är Df = R-{0}, dvs reella axeln med nollan bortplockad.

Okej.

Så man kan alltså sammanfatta det så här:

T(x)/N(x) här får alltså N(x) inte vara noll.

ln(x) här gäller det att x>0

Eponential funktion här gäller det "oftast" att Df = R

Usch...hoppas att jag har förstått det rätt.

Ja.

Kanon!

Jag har ytterliggare en fråga angående definitionsområdet.

Låt f(x) = arcsin (x)/(x+1) - arctan √2-x

Då trodde jag att Df = -1 och 2 men enligt facit:

Df={x: (-1 arcsin <= (x)/(x+1)<=1 och 2-x=>0)} =

= [-1/2,2]

Hur hänger detta ihop då?

Vet inte riktigt vad du avser med beteckningarna.

Först: menar du (arcsin x)/(x+1) eller arcsin (x/(x+1))? Menar du (√2-x) eller √(2-x)?
Eller något annat?

I alla fall syns omedelbart att man måste utesluta x=-1 från Df, ty där blir 1/(x+1) obegränsad (funktionen divergerar).

I alla fall lite allmänt.
Funktionen y = sin x är definierad för alla x, dvs Df = reella axeln. Den har värdemängd [-1,1]. För att bilda inversen måste man först inskränka sig till ett område där funktionen är omvändbar. Men y = sin x är inte är omvändbar för x som tillhör hela reella axeln, bara på små intervall (ett i taget). Till exempel är y = sin x omvändbar för alla x som tillhör [-π/2,π/2]. Eftersom sinus är 2π-periodisk så kan man välja något annat intervall, t.ex. [-π/2+2π,π/2+2π]. På dessa intervall är sin x en strängt växande funktion. Man måste hålla sig till högst ett sådant intervall. Jag väljer nu [-π/2,π/2], vilket är det mest uppenbara. Då kan man göra funktionen omvändbar på detta intervall.
Man skulle även kunna välja intervallet [π/2,3π/2], men där kommer sin x istället att vara en strängt avtagande funktion (stoppa in x-värden mellan π/2 och 3π/2 så får du se).

Funktionen y = sin x, eller rättare sagt en omvändbar restriktion av sin x, har Df=[-π/2,π/2], och värdemängd Vf = [-1,1].

För inversen y = arcsin x vänder man på Df och Vf. Definitionsmängden Df = [-1,1], värdemängd blir då Vf=[-π/2,π/2] .

Analogt: funktionen y = tan x, eller rättare sagt en omvändbar restriktion av tan x, har Df=[-π/2,π/2], och värdemängd Vf = [-∞,∞]. Då blir för y = arctan x Df = [-∞,∞], och Vf=[-π/2,π/2].

Vidare, för en sammansatt funktion y = arcsin(h(x)) så ska h(x) "uppföra sig som x gör" ovan i arcsin x. Alltså h(x) ska tillhöra Df = [-1,1], dvs h(x) ska ha sin värdemängd i [-1,1]. Därefter är det i sin tur frågan i vilket intervall h(x) är omvändbar, och vilken Df den då måste ha. Man får alltså gå stegvis baklänges.

Om f(x) består av flera olika funktioner som var och en har olika Df, så blir totala Df för f(x) mängdsnittet av alla dessa Df. Dvs, om varje funktion som arcsin och actan för ditt f(x) ovan har olika Df, så blir Df för f(x) den "minsta gemensamma nämnaren" för de ingående funktionerna.


Lite om arc-funktionerna, se http://en.wikipedia.org/wiki/Arcsin

Anta till exempel h(x) = x/(x+1), dvs sammansatt funktion y = arcsin(x/(x+1)). Då ska h(x) = x/(x+1) ha värdemängd i I1 = [-1,1].

Skriv om h som h(x) = x/(x+1) = (1+x)/(x+1) - 1/(x+1) = 1 - 1/(x+1). Denna funktion är en avtagande funktion, liknande -1/x, vilken har en diskontinuitetspunkt i origo. Den är kontinuerligt sammanhängande i 2 olika separata delar, en längs hela negativa reella axeln, en längs hela positiva reella axeln. Analogt fås för 1 - 1/(x+1) att den är kontinuerligt sammanhängande för x i I2=]-∞,-1[, samt för x i I3=]-1,∞[.
Vill vi nu att h(x) = x/(x+1) ska ha värdemängd i I1=[-1,1], så måste man studera dess värden för x tillhörande de 2 intervallen ovan.
Dvs, för att hamna rätt med h i I1=[-1,1] ska vi hitta värden på x så att
-1 ≤ h(x) = 1-1/(x+1) ≤ 1.

Intervallet I2 = ]-∞,-1[ : testa med t.ex. x=-1-a för något positivt tal a. Det ger h(-1-a) = 1-1/((-1-a)+1) = 1-1/(-a) = 1+1/a. Oavsett hur v än väljer a så är h(-1-a) >1, dvs större än något tal i den önskade värdemängden [-1,1]. Med x som tillhör I2=]-∞,-1[ så hamnar h(x) utanför den önskade värdemängden [-1,1].
Liknande resonemang med intervallet I3 = ]-1,∞[ :
Välj x=-1+a, a är litet positivt tal. Då fås h(-1+a) = 1-1/((-1+a)+1) = 1-1/a .
Låt a gå mot noll. Då går h(-1+a) = 1-1/a mot -∞.
Låt a växa mot oändligheten. Då är h(-1+a) = 1-1/a <1, dessutom går (växer ) h(-1+a) mot 1. Så för a går mot oändligheten fås att h(-1+a) hamnar i intervallet I1.
Välj sedan a nånstans inuti, t.ex. a=1/10. Då är h(-1+a) = 1-1/a = 1-1/(1/10) = 1-10 = -9. För stort.

Lös olikheterna -1 ≤ h(x) = 1-1/(x+1) ≤ 1. Kom ihåg att nu är (x+1)>0 eftersom x>-1 i intervallet. Det har betydelse när vi multiplicerar med (x+1) i en olikhet. Om man multiplicerar med en negativ faktor kastas olikhetstecknet om! Alltså:
-1 ≤ 1-1/(x+1)=>
-2 ≤ -1/(x+1)=>
-2(x+1) ≤ -1=>
-2x ≤ +1=> (obs omkastning!)
x ≥ -1/2
Således:x≥-1/2 => -1≤1-1/(x+1)

Analogt:
1-1/(x+1) ≤ 1 =>
(x+1)-1 ≤ (x+1) =>
x ≤ x+1, vilket är en identitet (självklarhet), tillför inget nytt.

Därmed: om x≥-1/2 så blir h(x) = 1-1/(x+1)≥-1

Och så kan vi testa några x:
x=-1/3 ger h(-1/3) = 1-1/(-1/3+1) = 1-1/(2/3) = 1-3/2 = -1/2 ≥-1
x=-1/9 => h(-1/9) = ... = 1-9/8 = -1/8 ≥-1
x=+1/10 => h(1/10) = ... = 1-10/11 = 1/11 ≥-1
x=+4 => h(4) = ... = 1-1/5 ≥-1
Osv.
Således ska x≥-1/2

Det är lättare med arctan√(2-x). Funktionen arctan x har Df = [-∞,∞]. Så vi måste se till att dess argument hamnar på reella axeln, dvs åtminstone är reellt. Roten är reell för 2-x≥0, dvs 2≥x. Man måste alltså kräva att x≤2.

Och så ska vi jämka. Då f(x) = arcsin(x/(x+1)) - arctan√(2-x) innehåller båda undersökta funktioner, så måste x uppfylla båda villkor, dvs x≥-1/2 och x≤2.

Detta formulerade jag så här i förra inlägget: "Om f(x) består av flera olika funktioner som var och en har olika Df, så blir totala Df för f(x) mängdsnittet av alla dessa Df."

Således: x måste tillhöra [-1/2,2].