Vinnaren i pepparkakshustävlingen!
2020-06-04, 03:35
  #1
Medlem
TorrentLovers avatar
Säg att f är en k-form på en domän (connected och öppen) U i RP^n. Kan vi alltid lösa dω=f på U? Måste vi ha något krav på f för en lösning?
Citera
2020-06-04, 07:35
  #2
Medlem
nerdnerds avatar
Citat:
Ursprungligen postat av TorrentLover
Säg att f är en k-form på en domän (connected och öppen) U i RP^n. Kan vi alltid lösa dω=f på U? Måste vi ha något krav på f för en lösning?
df = 0
Man ser iaf lätt att det är ett nödvändigt villkor, eftersom d²=0. Men det ska visst även vara tillräckligt.

I 3D kan man visa att detta är ekvivalent med kravet
×B = 0
för att
×A = B
ska ha en lösning, där B t ex kan stå för ett magnetfält, och A då är dess vektorpotential. I 4D har vi EM-fältet F (en 2-form) som uppfyller villkoret (enl Maxwells ekvationer)
dF = 0
och alltså har en 4-potential (en 1-form) som uppfyller
dA = F.

Källa: tror det står om detta i något appendix i Relativity av Robert Wald.
__________________
Senast redigerad av nerdnerd 2020-06-04 kl. 07:47.
Citera
2020-06-04, 09:06
  #3
Medlem
nerdnerds avatar
Äh, skrev fel om magnetfältet, där kravet förstås är att
B = 0
dvs att B är källfritt.

Dvs
∇•B = 0
är villkoret för att
∇×A = B
ska ha en lösning, och detta är ett specialfall av kravet
df = 0
för att
dω=f
ska ha en lösning. För att se att 3D-villkoret är samma sak måste man göra en s k Hodge dual.

Relevant wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Closed...erential_forms
__________________
Senast redigerad av nerdnerd 2020-06-04 kl. 09:56.
Citera
2020-06-04, 10:50
  #4
Medlem
App app app!

Försiktighet rekommenderas!

Härmed åkallas Poincare´s lemma:
en sluten differentialform i ett område är exakt om området är enkelt sammanhängande.
Föreligger i varierande formuleringar med i stort sett samma betydelse.

Som förrädiskt exempel brukar anges den väl intrampade fallgropen ω = (-ydx+xdy)/(x²+y²).

Denna är en sluten men ej exakt 1-form i ℝ²-{0}. Området är inte enkelt sammanhängande.

Men ω är exakt i ett enkelt sammanhängande område som inte innehåller singulariteten (origo).

ω tolkas som "vinkelformen" som anger vridningsvinkel (=∫ω) moturs kring origo.

Motsvaras till viss del av enkelpoler inom komplex analys (residykalkyl).

Går man upp ett steg till 2-former i 3D ges ett exempel av Kroneckerformen. Den dyker upp i t.ex. potentialteori, där integrationsområden kan omsluta någon singularitet.
T.ex. E-fältet kring punktladdning i origo.

Är väl dylikt som hanteras inom de Rham-kohomologi.

Intressant om former:
http://www.ctr.maths.lu.se/matematik...aktaformer.pdf
__________________
Senast redigerad av GaussBonnet 2020-06-04 kl. 11:35.
Citera
2020-06-04, 12:01
  #5
Medlem
Addendum

Mera på samma tema av samme författare:
http://www.ctr.maths.lu.se/matematik...Stokessats.pdf
Citera
2020-06-04, 19:05
  #6
Medlem
TorrentLovers avatar
Citat:
Ursprungligen postat av GaussBonnet
Försiktighet rekommenderas!

Härmed åkallas Poincare´s lemma:
en sluten differentialform i ett område är exakt om området är enkelt sammanhängande.
Föreligger i varierande formuleringar med i stort sett samma betydelse.

Som förrädiskt exempel brukar anges den väl intrampade fallgropen ω = (-ydx+xdy)/(x²+y²).

Denna är en sluten men ej exakt 1-form i ℝ²-{0}. Området är inte enkelt sammanhängande.

Men ω är exakt i ett enkelt sammanhängande område som inte innehåller singulariteten (origo).

ω tolkas som "vinkelformen" som anger vridningsvinkel (=∫ω) moturs kring origo.

Motsvaras till viss del av enkelpoler inom komplex analys (residykalkyl).

Går man upp ett steg till 2-former i 3D ges ett exempel av Kroneckerformen. Den dyker upp i t.ex. potentialteori, där integrationsområden kan omsluta någon singularitet.
T.ex. E-fältet kring punktladdning i origo.

Är väl dylikt som hanteras inom de Rham-kohomologi.

Intressant om former:
http://www.ctr.maths.lu.se/matematik...aktaformer.pdf
Detta är väl inte en form på RP^2?
Citera

Stöd Flashback

Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!

Stöd Flashback