Sannolikhetsproblem

Kolla gärna om du kan hitta något fel i det här.

Först har vi
1-((N-s)/N)^n = (s/N)^n

Det är TS formler, och jag kan inte hitta något fel i dem. De kan skrivas om till

1-(1-s/N)^n = (s/N)^n

Och med x = s/N får vi

1-(1-x)^n = x^n

Vi kan lätt inse att VL kan skrivas om på formen:

x * P_(n-1)(x) = x^n

där P_(n-1)(x) är ett polynom av x av grad n-1. Motivering:

1-(1-x)^n expanderar till 1-(1^n + c_1^(n-1)*x + c_2^(n-2)*x^2 + ... c_(n-2)*x^(n-1) + x^n)

Den första termen tas ut av ettan utanför parentesen, och kvar får vi:

c_1^(n-1)*x + c_2^(n-2)*x^2 + ... c_(n-2)*x^(n-1) + x^n) = x * (c_1^(n-1) + c_2^(n-2)*x + ... c_(n-2)*x^(n-2) + x^(n-1))

Så det finns alltså ett polynom sådant att:

P_(n-1)(x) = x^(n-1)

Jag vet faktiskt inte riktigt vart jag är på väg med detta, men det luktar lite som att induktionsbevis kan vara på sin plats. Eller så är jag helt fel ute.

Känns som jag är på dig som fan nu, men kan du visa en enda lösning för n>2 och minst en av varje färg? Jag kan inte hitta någon.

Okej så här ser jag på problemet, tar följande från trådstart:

Spel 1: p (minst en svart)= 1-((N-s)/N)^n
Spel 2: p (alla kulor svarta) (s/N)^n

Om man väljer n=1 så är uttrycken ovan lika. Så långt tror jag vi är överens. Om man sätter:
f1(n) = 1-((N-s)/N)^n
f2(n) = (s/N)^n
Dvs man ser ovanstående som två ekvationer som enbart beror på n, man håller N och s fixerade.
f1 kommer vara strikt stigande för alla realistiska värden. Detta då uttrycket inom parentesen kommer vara större än 0 och mindre än ett och ju högre exponent man tar desto mer sjunker värdet. 0,...... multiplicerat med värdet från steget innan blir alltid mindre.

För f2 gäller raka motsatsen. Detta då man har + framför uttrycket med parentes. Även detta uttryck kommer alltid sjunka för varje gång man ökar n.

Man har alltså en strikt stigande funktion och en strikt avtagande funktion som möts i n=1. De kommer alltså aldrig att mötas mer. Så långt är vi överens.

Resten av min uträkning handlade dock om det tillägg TS gör. Spelets regler ändras för spel två, man målar x vita bollar svarta. Nu kommer funktion 2 se ut såhär: ((s+x)/N)^n = f2ny(n)

Observera att mitt x här inte är samma som du använt. Då x>0 så ser man direkt att f2ny>f2.
Detta gäller även för n=1 dvs f1 och f2ny kommer inte möta varandra i n=1 längre.

Men samtidigt så gälelr detsamma som förut att den ena är strängt växande och den andra strängt avtagande så när man låter n gå mot oändligheten så vet man att deras bana korsas någonstans.

Fast det kan bara vara på ett ställe och det behöver inte vara just där n är precis ett heltal utan det kan ske mellan två olika n-värden.

Jag tror du missat att jag bytte spår när jag gick över till de nya spelreglerna.

Jag tolkar din fråga som om det funkar att hitta en övre gräns för n? Här finns det risk att jag tänker fel men jag tror inte det, pga att N även om det är ändligt alltid kan göras större.

Tänk att man börjar med N = 1 miljard, samt en svart boll. Med de nya reglerna så målar man om alla bollar utom en till svart. Det kommer krävas ett högt n för kurvorna att mötas.

Fast nu kan man ju lika gärna köra med 1000 triljoner bollar samma förutsättningar gällande färger.
Det krävs ett ännu större n innan kurvorna möts. Och sen bara köra på så, även om man håller N ändligt.

Då tror jag vi är överens. Jag trodde du menade att de kunde korsa varandra någonstans senare. Det blir lite förvirrande att säga att de nödvändigtvis kommer att korsa varandra enbart för att den ena är strängt växande och den andra strängt avtagande, för det gäller bara som generell regel om definitionsmängden är hela reella axeln. Om korsningen sker för n<1 så är den fullständigt irrelevant.

För att undvika förvirring kör jag k=s/N för det gör det mycket lättare. Finns ingen anledning att behandla s och N separat.

Så då har vi
f1(n) = 1 - (1-k)^n
f2(n) = k^n

Vi är helt överens om att f1(1) = f2(1). Det ser man lätt genom att f1(1) = 1 - (1-k)^1 = k

BLABLABLABLA NU hittade jag var jag hade tänkt fel. Jag uppfattade inte att man först spelar spel 1 och SEN målar kulorna. Helvete. Måste medge att jag tyckte frågan var märkligt formulerad och jag borde dubbelkollat det.

Om jag inte gjort något slarvfel så hade wolfram alpha lösningen.
https://www.wolframalpha.com/input/?...%29%2FN%29%5En

Om 1-((N-s)/N)^n = ((s+t)/N)^n där t är antalet kulor man målar svarta så gäller:

t = N * n-sqrt(1-(1-s/N)^n) - s

Det är inte så svårt att härleda, men det är heller inte jättesnyggt. Jag skulle gärna vilja se någon bättre lösning baserat på heltal, men jag har ingen aning om hur man ska göra det.

Om man skriver det såhär:

1-((N-s)/N)^n = ((s+t)/N^n

Så är det vinstchans för spel 1 = vinstchans för det modifierade spel 2 där t är ommålade kulor. Det kan skrivas om: N^n = (N-s)^n +(s+t)^n

Men då kommer vi in på något som nog redan stått i tråden fast jag inte tänkte på det då, Fermats stora sats.

Den säger att ekvationer X^n = Y^n + Z^n saknar heltalslösningar X,Y,Z om n>2.