Sannolikhetsproblem

En urna innehållande N kulor varav s stycken svarta och resten vita används i ett spel (SPEL 1) med
regeln:
Plocka slumpvist upp n kulor ur urnan med återläggning mellan varje plock. Du vinner om minst en av
de n kulorna är svart.
Använd samma urna men byt till spel (SPEL 2) med nya spelregeln:
Plocka slumpvist upp n kulor ur urnan med återläggning mellan varje plock. Du vinner endast om alla
de n kulorna är svarta.
Det är svårare att vinna i SPEL 2 än SPEL 1. Nu till frågan:

Är det möjligt att inför SPEL 2 måla några av de vita kulorna svarta så att vinstchansen blir lika stor i
SPEL 2 som i SPEL 1?

Vilka är villkoren på n, N, s i så fall?
Obs! Alla kulor får inte vara svarta.


Har tänkt följande men inte avslutat
Spel 1: p (minst en svart)= 1-((N-s)/N)^n
Spel 2: p (alla kulor svarta) (s/N)^n

Hur tar man det vidare?

Som jag ser det, om jag förstår dig rätt, så vill du ändra antalet svarta kulor i spel 2, från tidigare s st. till s1 st. Slh för att vinna i spel 2 är då som du skriver, dock modifierat med antalet svarta kulor, (s1/N)^n.

Skall slh för vinst i spel 1 och spel 2 vara lika fås ekvationen

(s1/N)^n = 1-((N-s)/N)^n
<=>
s1 = N ( 1-((N-s)/N)^n )^(1/n)

s, N och n är dock variabler vilket ger olika värden på s1.

Ja, men går det att skapa samma sannolikhet för p genom att måla om några bollar?

Vita =V=N-s

S1^n+V^n= N^n är ju Fermats stora sats...alltså detta är gymnasiematte...?

Jag är ej helt med. Skulle man räkna ut hur många bollar som man skulle måla svarta?

Genom det du kom fram till (har inte kollat om det stämmer) så får vi denna ekvation.

1-((N-s)/N)^n = (s/N)^n

Så det handlar egentligen bara om att lösa ut variabeln s så ser du vad den ska vara för att det ska vara uppfyllt.

1-((N-s)/N)^n = (s/N)^n
1-(N/N - s/N)^n = (s/N)^n
1-(1-s/N)^n = (s/N)^n

Här kan vi substituera s/N = x så får vi något som ser lite snällare ut:

1-(1-x)^n = x^n

Detta ger oss också informationen att det är kvoten mellan s och N som är svaret. Att lösa den där ekvationen är över min förmåga.

Dock kan vi testa oss på att istället för att utgå från att det går, så kan vi testa att bevisa att det inte går.

Vi börjar med n=1

Det är trivialt. Eftersom vi bara drar en gång så blir båda spelen alltid likadana.

Vi testar med n=2

1-(1-x)²=x²
1-(1-2x+x²)=x²
2x-x²=x²

Denna ekvation har lösningarna x=0 och x=1. Om x=1 så är alla kulor svarta, vilket inte är tillåtet, så då återstår x=0, vilket betyder att alla är vita. Du har inte uttryckligen sagt att s>0, så om n=2 så är den enda lösningen att s=0 och N är oväsentligt.

När jag testar genom brute force (testat upp till n=6) verkar det som att x=0 och x=1 alltid är de enda lösningarna. I alla fall om vi bara tittar på reella lösningar, vilket är det enda som är intressant här. Det går också ganska lätt att inse att dessa två lösningar alltid finns, både genom att titta på vad det faktiskt betyder för problemet och genom att titta på ekvationen.

1-(1-0)^n = 0^n
1-1^n = 0^n
1-1 = 0
0 = 0
T

1-(1-1)^n = 1^n
1-0^n = 1^n
1-0 = 1
1 = 1
T

En annan observation som kanske kan användas är att när jag plottar de komplexa lösningarna så bildar de symmetrier både runt axeln y=0 och x=0.5

Inget färdigt svar tyvärr, men det kanske kan ge lite idéer. Spontant tycker jag att det ser ut som att det är omöjligt.

Ja fast om vi säger att
3 av 5 vita
2 av 5 svarta

Spel 1: 1-(3/5)^n Att få en svart på n-drag
Spel 2: (2/5)^n att få svart n gånger i rad

Spel 1 är mer fördelaktigt, men börjar vi måla om till spel 2

Spel 2: (4/5)^n är spel 2 mer fördelaktigt upp till n=2

Detta kan påverkas ytterligare

3 av 5 vita
2 av 5 svarta

Spel 1: 1-(19/20)^n Att få en svart på n-drag, 1 svart och målar om 18 st
Spel 2: (19/20)^n att få svart n gånger i rad
Spel 2 är fördelaktigt upp till n=13. Hur tar man reda på gränsen? och hur ska parametrarna svart, vit och N värderas?

Typ sist på bollen men tror jag kan bidra litet iaf. Om man säger att man målat om x bollar (antar att alla värden på x rimliga) så ser det väl ut så här:
Spel 1: som du skrev
Spel 2: ((s+x)/N)^n
En grej man ser direkt som andra skrivit för x>0 så är chansen större för spel två om n=1. Men om man låter n gå mot oändligheten så går chansen för spel ett mot ett och för spel två mot noll.

Så vilket(rimligt) värde på x som helst leder till att funktionerna korsas någonstans. Sedan skall det väl egentligen vara en heltalslösning...men om man är litet generös på den punkten och tillåter avrundningar så finns det precis en lösning för varje x, om man varierar n.

Antar också att N är ändligt och s<N.

Ja, jag vet inte svaret, men som jag sa så blir det bara förvirrande att hålla koll på tre variabler. Gör substitutionen x=s/N så får du en variabel mindre. Då har du bara n och x.

Verkar också rimligt, och jag kan då fan inte se vad jag har gjort för fel.

Tack som fan
Tror du man kan räkna ut en generell gräns på n beroende på förhållandet mellan antal vita och svarta?

Hmmm rätta mig om jag har fel nu, men det enda du har bevisat är väl i så fall möjligtvis att det inte är omöjligt för alla n, men inte att det skulle vara möjligt för alla n?

(Jag bortser också från heltalslösningar)