Citat:
Ursprungligen postat av
osmiumkaka
Både ja och nej, delvis beroende vilken skola av satslogiken man följer i frågan om medlemsskap och inklusion. Russell följer Peano i frågan om a vs {a} (även om han mellan 1900 och 1903 svängde fram och tillbaka flera gånger) och menar just att 1={}, att 1 är antalet element i den tomma mängden, det vill säga den innehåller elementet ”inga element”. För den som vill läsa mer om den historiska utvecklingen kan jag rekommendera Kanamori, The Bulletin of Symbolic Logic 9 (2003). Om 0 (och/eller {0}) finns var en av det sena 1800-talet och tidiga 1900-talets stora debatter inom logiken och jag brukar lita på BR, men kan någon peka på annan forskning på området läser jag gärna den.
Den som är intresserad kan ju begrunda följande citat ur anfört arbete. Det framgår där att Russell kanske svävade på målet lite, men att det är bevisbart att om man vill göra en distinktion mellan inklusion och medlemskap så blir man tvungen att skilja mellan a och {a}.
The a vs. {a} distinction is inextricably connected for
Russell, but it is now time to invoke a simple point. The following result is
provable just in first-order logic with equality and the membership relation,
with the usual definitions of ⊆ and {a}.
Theorem. ∀a (a = {a}) is equivalent to:
(∗) ∀a ∀b (a ⊆ b ←→ a ∈ b).
Proof. Suppose first that a = {a}. Then for any b, a ⊆ b if and only if
{a} ⊆ b. But {a} ⊆ b if and only if a ∈ b, and hence we can conclude that
a ⊆ b if and only if a ∈ b.
For the converse, first note that since a ∈ {a}, (∗) implies that a ⊆ {a}.
But also, since a ⊆ a, (∗) implies that a ∈ a, so that {a} ⊆ a. Hence we
can conclude that a = {a}. /
In other words, the identification of classes with their unit classes is equivalent to the very dissolution of the inclusion vs. membership distinction that
Russell so assiduously cultivated and exploited!
The Bulletin of Symbolic Logic
Volume 9, Number 3, Sept. 2003
THE EMPTY SET, THE SINGLETON, AND THE ORDERED PAIR
AKIHIRO KANAMORI
