Hur stor är sektionen i mitten av en 4-simplex?

En liksidig triangel som delas upp i liksidiga trianglar med halva sidlängden får en upp och ned vänd triangel i mitten som har en fjärdedel av den totala ytan, en tetraeder som delas upp i tetraedrar med halva sidlängden får fyra tetraedrar och en sektion i mitten som motsvarar halva volymen av den stora tetraedern.

Om vi då fortsätter genom att dela upp en 4-simplex i fem 4-simplex med halva sidlängden, kommer sektionen i mitten ha en hypervolym som motsvarar hela den stora 4-simplex eller hur är det egentligen meningen att det ska tolkas för dimensioner högre än 3 rent generellt?

Jag tror att du är inne på rätt spår. Har tidigare sett ett liknande resonemang för sfärer inneslutna i en kub, en sfär för varje hörn av kuben. Man analyserade då volymen av en sfär innesluten i mitten av kuben som tangerar övriga sfärer. Denna växte i förhållande till antal dimensioner och i tillräckligt höga dimensioner blev den centrerade sfären till och med större än kuben. Tror dock inte att denna ökning sker exponentiellt men är osäker, dessutom är det kanske annorlunda för tetraedrar i högre dimensioner.

Ja precis på samma sätt som med sfärer i högre dimensioner av en kub är frågan om sektionen i mitten av en simplex växer sig större i högre dimensioner.

Ett n-simplex hypervolym är proportionell mot kantlängden L upphöjt till n, dvs
Volym ∝ Lⁿ.
Ett n-simplex har också n+1 hörn.

Säg att du börjar med ett n-simplex som har hypervolymen 1 (dvs 100 %). Ett n-simplex med halva kantlängden har alltså hypervolymen (1/2)ⁿ, och med en sådan i varje hörn i det stora n-simplexet blir alltså deras sammanlagda hypervolym
(n+1) (1/2)ⁿ.
Hypervolymen som är kvar i mitten blir alltså
V = 1 - (n+1) (1/2)ⁿ.

n=1 --> V=1-2•(1/2)¹=1-2/2=0
n=2 --> V=1-3•(1/2)²=1-3/4=1/4
n=3 --> V=1-4•(1/2)³=1-4/8=4/8=1/2
n=4 --> V=1-5•(1/2)⁴=1-5/16=11/16
n=5 --> V=1-6•(1/2)⁵=1-6/32=26/32=13/16
...
Ju större n, desto närmare 1=100% blir det i mitten.

Vill man spejsa till det lite (om man inte tycker att det räcker till med 4D, 5D, etc), kan man även fundera på hur det blir när n inte är ett naturligt tal (0, 1, 2, 3, ...) med formeln
V(n) = 1 - (n+1)/2ⁿ.
Noterar då att mellan n=0 och n=1 så är V negativ... Går detta att tolka på något något så när vettigt sätt? Kanske för någon fraktal som ju kan ha dimensionstal som inte är heltal? Fast då återstår det också att försöka föreställa sig t ex ett 1/2-dimensionellt simplex med 3/2 hörn...

Så det finns inget sätt att trixa in någon större hypervolym i högre dimensioner som med sfärer packade i hyperkuber?