Hur ska jag lösa denna?

Rubrik: Samband mellan grafen, derivatan och andra derivatan.

Följande information om tredjegradsfunktionen f(x) är given. Bestäm derivatans tecken i punkten där x=x_1

f’(2)= f’(4)=0
f’’(-2)=-2, f’’(4)=0,4
X_1=5

Har dy försökt hitta ett polynom (för det är det 99 % frågan om) som i alla fall uppfyller det första kriteriet? Trial and error skulle jag utgå ifrån.

Säg att derivatan är ett polynom av grad två vilket är rimligt att anta.

(x-2)(x-4), du söker den primitiva funktionen till det?

Behöver inte vara rätt men det är nog en rimlig utgångspunkt.

X_1 är till höger om de lokala min/max som finns. Eftersom det är lokalt min i x=4 är den efterfrågade derivatan positiv.

Då f'(2)=f'(4) är x=2 och x=4 stationära punkter.
Eftersom f''(4)>0 är x=4 en lokal minimipunkt vilket gör att f(x) är växande för x>4 och därmed är f'(x)>0 för x>4.

Den andra stationära punkten måste vara en lokal maxipunkt då x=2 ej kan vara en terasspunkt. Om x=2 hade varit en terasspunkt likt origo för y=x^3 hade det krävts en ytterligare stationär punkt (en maximipunkt) mellan x=2 och x=4 för att x=4 skulle vara en lokal minimipunkt. f(x) hade då ej varit ett tredjegradspolynom. Pss kan ej x=2 vara en terasspunkt likt origo för y=-x^3.

(Löser man samtliga krav får man

f(x)=x^3/15 - 3x^2/5 + 8x/5 + d

där d "in R" är godtycklig, och ej påverkar svaret avseende tecknet på f'(5).)

Som jag fattat frågan som är bara att man ska föra ett resonemang och det jag skrivit än så länge är att:
jag ser att kurvan har två extremvärden för att derivatan i dessa punkter är noll, alltså är kurvans lutning noll för dessa x-värden.
Och sen ser jag att det andra extremvärdet, f’’(4)=0,4, andra derivatan är positiv i denna punkt vilket innebär att denna punkt är en lokal minimipunkt.

Och eftersom att andra derivatan är positiv och beskriver förändringen av derivatan så betyder det att lutningen av kurvan kommer bli brantare efter denna punkt x=4 alltså är derivatanstecken vid x=5 positiv

Sätt f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. Då är f'(x)=3ax^2+2bx+c och f''(x)=6ax+2b.

f'(2)=12a+4b+c=0
f'(4)=48a+8b+c=0
f''(-2)=-12a+2b=-2
f''(4)=24a+2b=0,4 ger att 2b=0,4-24a som vi kan sätta in i ekvationen ovan, som då blir -12a+0,4-24a=-2, det vill säga -36a+0,4=-2 så 36a=2,4 och a=1/15.

2b=0,4-24a ger att b=0,2-12a=0,2-12/15=-3/5.

12a+4b+c=0 ger c=-12a-4b=-12/15+12/5=8/5.

48a+8b+c=0 ger c=-48a-8b=-48/15+24/5=8/5 vilket var bra, hade vi fått två olika värden på c hade något varit fel.

Vi har alltså fått följande värden på a, b och c:
a=1/15
b=-3/5
c=8/5

Därmed är f(x)=(1/15)x^3-(3/5)x^2+(8/5)x+d, vi var endast intresserade av derivatan i punkten x=5 så vi behöver inte veta något om d, för den finns ju inte med i derivatan.

f'(x)=(1/5)x^2-(6/5)x+(8/5)
f'(5)=(1/5)*25-(6/5)*5+(8/5)=5-6+(8/5)=3/5
Vi ser att derivatan i x=5 är positiv.