Centralrörelse

PRINCIPIA (first ed.), Section Ⅱ, Prop Ⅶ, Problem Ⅱ.

Translated by Andrew Motte:

If a body revolves in the circumference of a circle; it is proposed to find the centripetal force when it is directed at a point S on the circle.

Översatt till svenska av Carl Charlier (1927):

En kropp rör sig på en cirkels periferi. Det begäres att erhålla lagen för en centripetalkraft riktad mot någon punkt, vilken som helst, på cirkeln.

Anm. Att en kraft är ”centripetal” betyder här att den pekar mot fast punkt. En centripetalkraft har enligt Newton (som myntade begreppet) endast denna specifika egenskap.

Figur till problemet: https://imgur.com/GhlWYhS

Givet: partikelns acceleration a pekar (liksom kraften) mot kraftkällan S.

Låt oss se hur långt man når genom att använda det välbekanta uttrycket för en partikels normalacceleration a_n. Ny figur.

a_n = v²/ρ, där v = partikelns fart och ρ = banans krökningsradie i P.
Krökningsradien är här lika med cirkelbanans radie R, så

a_n = v²/R.

Eftersom normalkomponenten a_n pekar mot cirkelcentrum C får vi (se figur)
a_n/a = cos(θ) = ½ r/R = r/2R, så a = (2R/r) a_n, vilket ger

a = (2R/r) v²/R = 2v²/r.

Kanske värt att notera att partikeln INTE rör sig med konstant fart v (farten är lägst i A och växer sedan när P närmar sig A).

Nästa steg: Eliminera farten v med hjälp av en lämplig rörelsekonstant!

Förslag?

Partikelns rörelsemängdsmomentet kring kraftkällan S är konstant!

Låt r vara ortsvektorn från S till P. Partikelns rörelsemängd mv, acceleration a och rörelsemängdsmoment L kan då skrivas (låt prim-tecknet markera tidsderivator):

mv = mr', a = v', L = r × mv

Tidsderivering av L ger

L' = r' × mv + r × v' = mv × v + r × ma
= 0 + m(r × a)

Men r × a = 0 eftersom r och a är antiparallella, så L' = 0. Härav följer att vektorn L är konstant, att den är vinkelrät mot cirkelplanet och att den har storleken (se figur)

L = m r v sin(φ) = m r v cos(θ) = m r v (r/2R) = m r²v / 2R

Sätt h = r²v / 2R och lös ut v:

v = 2Rh / r² … *)

Insättning i sambandet a = 2v²/r ger slutligen

a = 8R²h² / r⁵.

———————————————
*) Som synes går v mot oo då P närmar sig S.