Uppgift från ett gammalt nationellt prov i Ma3c

https://imgur.com/a/cTGI1C7

Hej! Skulle behöva lite hjälp med hur man löser denna uppgift från ett gammalt nationellt prov.

Funktionen är en andragradare som alltså är symmetrisk kring y-axeln. I punkterna där den skär x-axeln är den alltså lika mycket negativt lutande i ena punkten som den är positivt lutande i andra punkten (derivatan för punkterna f’(a)=-f’(b)). I fråga b) är det väl bara att derivera. Lättaste är väl att multiplicera ihop parenteserna.

K(x-a)(x-b)=k(x^2-xb-xa+ab) ger derivatan k(2x-a-b)

F’(a)=k(2a-a-b)
F’(b)=k(2b-a-b)

F’(a)+f’(b)=k(2a+2b-2a-2b)=0

Har säkert gjort något fel någonstans, så mathnerd och neil får väl rätta till det.

Edit: kanske ska lägga till att andragradare generellt inte är symmetriska kring x-axeln, men symmetriska kring den axel som skär vertex.

Jag tycker inte dy har gjort fel på något utom en liten detalj: en andragradskurva är visserligen alltid symmetrisk, men inte nödvändigtvis runt y-axeln. Så vitt jag vet är den symmetrisk runt y-axeln bara om a och b har samma värde.

Klantigt av mig att fylla i ett extra fel i mitt edit. Så klart menar jag kring y-axeln som skär vertex.

Jag tycker det ser bra ut ("F'" är nog bara skrivfel). Om man vill göra det lite generellt så skulle "symmetrisk kring y-axeln" ersättas med " symmetrisk omkring linjen x=(a+b)/2".

Om man utgår från symmetrilinjen x=S=(a+b)/2 har vi att f(S-x)=f(S+x), x>0, vilket ger -f'(S-x)=f'(S+x) (-1 är inre derivata) så visar det b) på ett alternativt sätt (låt x=(b-a)/2).

Ser man på: du lade till din edit någon gång mellan det att jag läste ditt ursprungliga inlägg och sedan klickade på "Citera"-länken.

Det jag ville ha sagt är att funktionen är ”jämn”.

Att det blev ”F” var av ren lättja. Men det får jag äta upp nu i förklaringen.

... eller mittemellan parabelkurvans nollställen, dvs i punkten (x, y) = ((a+b)/2, 0).
--------
Du menar väl den vertikala y-axeln i detta fall?

För tredje gången: ja. Andragradare är jämna funktioner som alltså är speglade kring vertikalt centrum.

På b) finns ett trick för att se det snabbt, produktregeln: d/dx(u(x)v(x)) = u´v +v´u
Med u = (x-a) och v = (x-b) så är ju båda derivatorna för u och v ett. Kvar blir (a-b)+(b-a).

En parentes, men litet kul tyckte jag iaf.

Edit: Egentligen skall det ju vara en parentes runt allt och multat med k...

Men på formen ax^2+bx+c (a,b,c konstanter) är den väl det? om vi byter plats på x och y får vi vridning runt y-axlen, exempelvis x=y^2 ? Det blir rotfunktion speglad y=+-sqrt(x).

Är det ett tidigare publicerat prov (dvs. publikt på nätet)? Om inte så v. lägg upp hela provet så löser vi det, till förmån för andra intresserade. Jag är dessutom lite sysslolös på kvällarna!