Raketdrift enligt SR / repris

Fyrverkeri i tomma rymden passar väl bra när vi firar årets sista dag:

A rocket propels itself rectilinearly by giving portions of its mass a constant (backward) velocity u relative to its instantaneous rest-frame. It continues to do so until it attains a velocity v relative to its initial rest-frame.

Prove that the ratio of the initial to the final rest-mass of the rocket is given by

m_i / m_f = [(c + v)/(c - v)]^q, where q = c/(2u).

Kanske något att bita i för en kvällspigg relativist?

På tok för länge sen jag räknade på det här, men du har härledningen på wikipedia här:

https://en.wikipedia.org/wiki/Tsiolk...ocket_equation

Ja, Tsiolkovsky-ekvationen är den klassiska (newtonska) varianten.

Frågan är dock vad som gäller för ”fulltankade raketer” som når så höga hastigheter att relativistiska effekter ej kan försummas.

Scrollar du ned en bit på sidan, så har du härledningen för en relativistisk raket också...

Tack, missade det!
Ser dock att man löser ut hastigheten från den ekvation som ska visas här ...

Låt S* vara ett referenssystem där raketen (med massan m) momentant har hastigheten noll. Antag vidare att raketen får hastigheten dv* och den (negativa) massändringen dm när ett gas-paket med massan dµ slungas ut med hastigheten u, se figur:

Den övre ekvationen ger dm + dµ·γ(u) = 0, dvs dµ·γ(u) = – dm.
Insättning i den nedre ekvationen ger sedan

m·dv* + dm·u = 0 … <=> … dm/m = – (1/u)·dv* … (1)

Antag nu att referenssystemet S* har hasigheten v relativt det ursprungliga vilosystemet S, där raketen har massan mi och hastigheten noll. Hastighetstransformationen ”w 'minus' v”,
dvs [w – v]/[1 – wv/c²], ger med w = v+dv :

dv* = [(v+dv) – v]/[1 – (v+dv)v/c²] = dv/[1–v²/c²] = c²dv/[c²–v²]

Notera att vi endast behåller termer som är linjära i differentialerna! Insättning i (1) ger

dm/m = –(c²/u)·dv/[c²–v²] = –(c/2u)[1/(c+v) + 1/(c-v)] dv

Lösning (med begynnelsevillkoren v = 0 och m = mi):

ln(m/mi) = (c/2u) ln[(c-v)/(c+v)], vilket ger

mi/m = [(c + v)/(c - v)]^(c/2u).

Missförstod uppgiften först som att den handlade om att skjuta ut en viss andel av massan, vid diskreta tidpunkter. Så funkar ju inte vanliga raketer, men det har ju t ex diskuterats att driva instellära raketer med kärnladdningar, vilket skulle ge diskreta knuffar.

Detta problem går också att lösa, men jag får inte till en lika snygg formel. Kanske en anledning är att vi nu har en till parameter: hur stor andel ska skjutas ut i varje steg med hastigheten u? (I ditt fall är det ju bara en kontinuerlig ström). Notera man även i detta fall måste ta hänsyn till att det är hela energin som bevaras, inkl massenergi.

Är inte klar än riktigt, men kan iaf ge ett lite allmänt praktiskt tips: säg att varje knuff ger hastigheten Δv i det föregående vilosystemet. Vad blir det relativistiska uttrycket för hastigheten efter n st sådana knuffar?
(Ex: Δv=0.10c och n=15.)
Svar:
v = c tanh(χ) = c tanh(nΔχ)
där Δχ ges av
c tanh(Δχ) = Δv

Uttrycken kommer sig av att varje boost kan ses som en sorts vridning med samma "vinkel" i den 4D rumtiden. Att det blir hyperboliska funktioner istället för trigonometriska beror på rumtidens speciella sorts metrik, med både plustecken och minustecken. Den här sortens rumtidsvinkel kallas för rapiditet.

Ja, raketen drivs framåt genom att raketmotorn (utan avbrott) trycker ut gas med det konstanta massflödet dµ/dt relativt vilosystemet.

Precis – och jag utgår från att systemets energi och rörelsemängd bevaras under ett kort tidsintervall i vilosystemet S*:

(m + dm)c² + dµ·γ(u)c² = mc²
m·dv* – dµ·γ(u)u = 0

Källa: W Rindler, SPECIAL RELATIVITY (OLIVER AND BOYD),
§ 38 exersise (14), se

Nu ser jag förresten även hur din lösning hänger ihop med rapiditeten jag nämnde.
För det första har vi att
dv* = c tanh dχ = c dχ
så att
dm/m = -(1/u)·dv*
blir
dm/m = -(c/u) dχ
vilket integreras till (om χ startar på 0 och m på mᵢ) till
ln(m/mᵢ) = -(c/u)χ
m/mᵢ = exp(-(c/u)χ)
...
vilket faktiskt är samma som ditt svar eftersom v=c tanh(χ), så att
(c+v)/(c-v) = (1+sinh(χ)/cosh(χ))/(1-sinh(χ)/cosh(χ))
= (cosh(χ)-sinh(χ))/(cosh(χ)+sinh(χ)) = e^(-χ)/e^χ = e^(-2χ)
dvs din lösning ger
m/mᵢ = ((c+v)/(c-v))^(c/(2u)) = (e^(-2χ))^(c/(2u)) = e^(-(c/u)χ)

Bonusuppgift:

Relativistisk addition av hastigheter ges som bekant av
v = (v₁ + v₂)/(1 + v₁v₂/c²).

Visa att sambandet för rapiditeter helt enkelt ges av
χ = χ₁ + χ₂
där
v = c tanh(χ)
v₁ = c tanh(χ₁)
v₂ = c tanh(χ₂)

Med den tekniken behöver du alltså inte(?) hastighetstransformera?

Sätter in ” v = c tanh(χ), v₁ = c tanh(χ₁) och v₂ = c tanh(χ₂) ”
i additionsformeln ”v = (v₁ + v₂)/(1 + v₁v₂/c²)” och får

tanh(χ) = [tanh(χ₁) + tanh(χ₂)] / [1 + tanh(χ₁) tanh(χ₂)] ... (*)

Med hjälp av definitionen tanh(x) = [exp(x) - exp(-x)]/[exp(x) + exp(-x)]
är det relativt enkelt at härleda additionsformeln för tanh:

tanh(x₁ + x₂) = [tanh(x₁) + tanh(x₂)] / [1 + tanh(x₁) tanh(x₂)]

Insättning i (*) ger: tanh(χ) = tanh(χ₁ + χ₂), varur följer

χ = χ₁ + χ₂

eftesom tanh-funktionen är omvändbar.