Vinnaren i pepparkakshustävlingen!
  1. Vetenskap & humaniora
  2. Fysik, matematik och teknologi
  3. Matematiska och naturvetenskapliga uppgifter

Ett (TV-)förhållande mellan medianer och sidor i en triangel

Svara
2019-12-30, 16:15
  #1
Math-Nerd
Medlem
Ett problem från tidigt 1900-tal (ej examensproblem). Jag använder ej |...| för längder utan bara bokstäver nedan.

Citat:
Låt m_a, m_b och m_c vara längden av medianerna i triangeln ABC med sidlängderna a, b och c. Visa att
16(m_a^4+m_b^4+m_c^4) = 9(a^4+b^4+c^4).

Uppgiften är initialt ej svår och kan klaras med Ma2-kunskap, men sedan, i halvlek i den lösningen jag lyckades prestera iaf, kommer en ("halv") substitution för att komma vidare emot sluträkningen. Kanske någon har en bättre/snabbare/smartare metod än min?

N.B. Förhållandet är 9:16, precis som moderna TV.

Här är min lösning.
__________________
Senast redigerad av Math-Nerd 2019-12-30 kl. 16:18.
Citera
2019-12-30, 17:25
  #2
Nail
Medlem
Nails avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Math-Nerd
Ett problem från tidigt 1900-tal (ej examensproblem). Jag använder ej |...| för längder utan bara bokstäver nedan.



Uppgiften är initialt ej svår och kan klaras med Ma2-kunskap, men sedan, i halvlek i den lösningen jag lyckades prestera iaf, kommer en ("halv") substitution för att komma vidare emot sluträkningen. Kanske någon har en bättre/snabbare/smartare metod än min?

N.B. Förhållandet är 9:16, precis som moderna TV.

Här är min lösning.

Hittade denna likhet:
(3/4)(a² + b² + c²) = (m_a)² + (m_b)² + (m_c)²
och denna olikhet
(3/4)(a + b + c) < m_a + m_b + m_c < a + b + c.
Median (geometry)
Citera
2019-12-30, 17:28
  #3
Math-Nerd
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Nail
Hittade denna likhet:
(3/4)(a² + b² + c²) = (m_a)² + (m_b)² + (m_c)²
och denna olikhet
(3/4)(a + b + c) < m_a + m_b + m_c < a + b + c.
Median (geometry)
Då är ursprungsproblemet en följd av "Apollonius's theorem" skulle jag tro.
Kvadrering av dessa likheter ger förhållandet i problemet. Intressant.
Citera
2019-12-30, 18:17
  #4
Nail
Medlem
Nails avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Math-Nerd
Då är ursprungsproblemet en följd av "Apollonius's theorem" skulle jag tro.
Kvadrering av dessa likheter ger förhållandet i problemet. Intressant.

”Apollonius från Tyana” !

Inte den välbekante Apollonius från Perga alltså:

http://mathshistory.st-andrews.ac.uk...pollonius.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Apollonius_of_Perga
Citera
2019-12-30, 18:50
  #5
Math-Nerd
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Nail
”Apollonius från Tyana” !

Inte den välbekante Apollonius från Perga alltså:

http://mathshistory.st-andrews.ac.uk...pollonius.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Apollonius_of_Perga
Jag följde WP-länkar och det verkar vara Perga-Apollonius.
Jag kan ej påstå att jag är vidare påläst i matematisk historia.
Som en åsna följer jag WP-länkarna (moroten)...
Citera
2019-12-30, 19:49
  #6
nerdnerd
Medlem
nerdnerds avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Math-Nerd
Ett problem från tidigt 1900-tal (ej examensproblem). Jag använder ej |...| för längder utan bara bokstäver nedan.



Uppgiften är initialt ej svår och kan klaras med Ma2-kunskap, men sedan, i halvlek i den lösningen jag lyckades prestera iaf, kommer en ("halv") substitution för att komma vidare emot sluträkningen. Kanske någon har en bättre/snabbare/smartare metod än min?

N.B. Förhållandet är 9:16, precis som moderna TV.

Här är min lösning.
Jag gillar vektorräkning eftersom det nära på räknar på av sig själv om man bara ställer upp det först ordentligt.

Så om a och b är två av triangelns kantvektorer (riktade bort från hörnet du kallar C) ges den tredje av
c = b - a
och medianerna av t ex (kan välja motsatta tecken men det spelar ju ingen roll)
A = b - a/2
B = a - b/2
C = a + c/2 = a/2 + b/2

Sen är det egentligen bara att förenkla uttrycket
16 ( A⁴ + B⁴ + C⁴ ) - 9 ( a⁴ + b⁴ + c⁴ )

= 16 ( (a²/4 + b² - a•b)² + (a² + b²/4 - a•b)² + (a²/4 + b²/4 + a•b/2)² )
- 9 ( a⁴ + b⁴ + (a² + b² - 2a•b)² )

= 16 ( 9a⁴/8 + 9b⁴/8 + 9a²b²/8 - (9a²/4+9b²/4)a•b + 9(a•b)²/4
- 9 ( 2a⁴ + 2b⁴ + 2a²b² - (4a²+4b²)a•b + 4(a•b)² )

= 0

---

Istället för att hålla reda på a•b kan man vara lite mer explicit med kartesiska koordinater, med x-axeln vald längs vektorn a:
a = (a,0)
b = (b₁,b₂)
och därifrån "fuska" i hela förenklingen med något algebraprogram, t ex med min TI-89 grafräknare...
I Mathematica kanske man bara kan deklarera a och b som vektorer, så att den själv håller isär t ex a²b² och (a•b)²?
Citera
2019-12-30, 20:09
  #7
Math-Nerd
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av nerdnerd
Jag gillar vektorräkning eftersom det nära på räknar på av sig själv om man bara ställer upp det först ordentligt.

Så om a och b är två av triangelns kantvektorer (riktade bort från hörnet du kallar C) ges den tredje av
c = b - a
och medianerna av t ex (kan välja motsatta tecken men det spelar ju ingen roll)
A = b - a/2
B = a - b/2
C = a + c/2 = a/2 + b/2

Sen är det egentligen bara att förenkla uttrycket
16 ( A⁴ + B⁴ + C⁴ ) - 9 ( a⁴ + b⁴ + c⁴ )

= 16 ( (a²/4 + b² - a•b)² + (a² + b²/4 - a•b)² + (a²/4 + b²/4 + a•b/2)² )
- 9 ( a⁴ + b⁴ + (a² + b² - 2a•b)² )

= 16 ( 9a⁴/8 + 9b⁴/8 + 9a²b²/8 - (9a²/4+9b²/4)a•b + 9(a•b)²/4
- 9 ( 2a⁴ + 2b⁴ + 2a²b² - (4a²+4b²)a•b + 4(a•b)² )

= 0

---

Istället för att hålla reda på a•b kan man vara lite mer explicit med kartesiska koordinater, med x-axeln vald längs vektorn a:
a = (a,0)
b = (b₁,b₂)
och därifrån "fuska" i hela förenklingen med något algebraprogram, t ex med min TI-89 grafräknare...
I Mathematica kanske man bara kan deklarera a och b som vektorer, så att den själv håller isär t ex a²b² och (a•b)²?
Tack, det var en elegant lösning.

Edit. Jag vet ej om det är den mest 'eleganta' lösningen i Mathematica, men detta funkar bra:
Kod: 
Clear[a1, a2, b1, b2]
a = {a1, a2}
b = {b1, b2}
c = b - a
ma = b - a/2
mb = a - b/2
mc = a + c/2
16 (ma^4 + mb^4 + mc^4) - 9 (a^4 + b^4 + c^4) // Simplify
Svaret blir nollvektorn {0,0}.

Jag tar gärna din vektorlösning som "alternativ lösning" till problemet.
__________________
Senast redigerad av Math-Nerd 2019-12-30 kl. 20:16.
Citera
2020-01-02, 12:13
  #8
Nail
Medlem
Nails avatar
Inspirerad av nerdnerds vektorgymnastik försökte jag tackla det snarlika problemet

» (3/4)(a² + b² + c²) = (m_a)² + (m_b)² + (m_c)² «

Figuren nedan visar en triangel ABC med utsatta mittpunkter D, E och F på sidorna BC, CA och AB respektive.
Kod: 
  Notation: PQ = *vektorn* från punkt P till punkt Q.
 
              C                | Vektoraddition:
              o                |
             / \               |   AB + BC + CA = 0
            /   \              | 
       b/2 /     \ a/2         |   AD = AB + BD = AB + BC/2 
          /       \            |   BE = BC + CE = BC + CA/2
       E •         \           |   CF = CA + AF = CA + AB/2
        /           • D        |
   b/2 /             \         | Sidolängder: a = |BC|
      /               \ a/2    |              b = |CA|
     /                 \       |              c = |AB|
    /                   \      |
   o––––––––––•––––––––––o     | Medianlängder: mA = |AD|
  A    c/2    F    c/2    B    |                mB = |BE|
                               |                mC = |CF|

Med hjälp av sambanden ovan får vi

 (mA)² = |BC + CA/2|² = |BC|² + BC • CA + |CA|²/4
       = a² + BC • CA + b²/4

 (mB)² = |AB + BC/2|² = |AB|² + AB • BC + |BC|²/4
       = c² + AB • BC + a²/4 

 (mC)² = |CA + AB/2|² = |CA|² + CA • AB + |AB|²/4
       = b² + CA • AB + c²/4

Summera! 

 (mA)²+(mB)²+(mC)² = + a² + BC • CA + b²/4
                     + c² + AB • BC + a²/4
                     + b² + CA • AB + c²/4
                   = 5[a² + b² + c²]/4
                     -[a² + b² + c²]/2     (!)
                   = 3[a² + b² + c²]/4, så

3[a² + b² + c²] = 4[(mA)² + (mB)² + (mC)²] VSV.

Blev bökigare än vad jag inbillade mig :-/
—————————————————————————————
(!) Visa att BC•CA + AB•BC + CA•AB = –[a²+b²+c²]/2.
__________________
Senast redigerad av Nail 2020-01-02 kl. 12:21.
Citera
Svara

Stöd Flashback

Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!

Stöd Flashback