Att tolka derivator och integraler - varför blir detta fel?

Jag har klurat lite på derivator och integraler mest för att förbättra egen förståelse. Alltså hur arean under en deriverad funktion faktiskt är ursprungsfunktionen och hur det går till.

Ta t.ex. derivatan av funktionen Y = X^2. Om man tittar på ytan derivatans linjära graf (Y' = 2X) får man en triangel som räknas ut enligt basen (X) gånger höjden (Y = 2X) delat med två. Anta att X= 5. Ursprungsfunktionen ger då Y = 5^2 = 25. Arean under derivatans funktion ger: (2*5)*5 /2 = 25. Perfekt!

Nu till min fråga Jag vill göra samma ska med funktionen Y = 4X^2 + X. Derivatan är 8X + 1.
Anta att X = 2. Ursprungsfunktionen ger 4*2^2 +2 = 18. Derivatan ger (8*2+1) * 2 /2 = 17. Vad händer här?

Problemet måste ha att göra med att derivatans graf förskjuts från origo men jag förstår inte riktigt hur.

Nu är det år och dagar sen jag räknade en integral, men är det inte så att du egentligen integrerar från 0 till 2, och att det funkar i det första fallet att bara räkna på slutvärdet eftersom det ändå är 0 i 0, medan i det andra fallet är det 1 i 0 och därför tappar du en etta när du hoppar över det?

Du räknar fel. Arean under derivatan blir (8*2+1-1)*2/2+2*1 = 18.

Ah, tack. Varifrån kommer de extra siffrorna?

y = 8X + 1 skapar ej en triangel med x-axeln mellan 0 och 2.
Du har en rektangel med längd 2 och höjd 1 som "botten".
Ovanför denna finns en triangelyta.
Wolfram Alpha

Tack nu förstår jag. En sak jag inte riktigt greppat dock är att nu korsar vi Y-axeln i punkten Y=1 och X-axeln till vänster om origo. Det finns alltså en liten triangel till vänster om linjen X=0. Vad är tankesättet bakom att man enbart räknar den area som är till höger om linjen X=0?

Låt oss ta ett annat exempel. Anta att vi istället räknar Y=4X^2 - X (då skär X-axeln till höger om origo). Derivatan är Y´= 8X - 1. Hur tolkar man då denna arean i X=2. Jag skulle ta höjden (8*2-1)=15 gånger triangelbasen (2-0,125)=1,875. => 15*1,875/2 =14,06 <> 14,0 i ursprungsfunktionen.

Du ville beräkna integralen från 0 till 2, då får vi hålla oss mellan 0 och 2;
\begin{align*}
\int_0^2\!(8x+1)\,\mathrm{d}x
&=\text{Rektangel}+\text{Triangel}
\\&
=2\cdot1 + \tfrac{1}{2}\cdot2\cdot(8\cdot2+1-1)
=-2+16
=18
\end{align*}
och \(4x^2+x\) är \(4\cdot2^2+2=18\) för \(x=2\).

Notera först att \(y=8x-1\) skär \(x\)-axeln för \(x=x_0=1/8\).
\begin{align*}
\int_0^2\!(8x-1)\,\mathrm{d}x
&
=-\text{”Negativ” triangel}+\text{”Positiv” triangel}
\\&
=-(\tfrac{1}{2}\cdot x_0\cdot1) + \tfrac{1}{2}\cdot(2-x_0)\cdot(8\cdot2-1)
\\&
=-(\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{8}\cdot1) + \tfrac{1}{2}\cdot(2-\tfrac{1}{8})\cdot(8\cdot2-1)
\\&
=-\tfrac{1}{16}+\tfrac{225}{16}
=\tfrac{224}{16}
=14
\end{align*}
och \(4x^2-x\) är \(4\cdot2^2-2=14\) för \(x=2\).