Problem med dryg PDE-uppgift med tidsvariabelt högerled

Jag skulle behöva lite hjälp med att begripa den här uppgiften:

https://i.imgur.com/CZouUem.jpg

Jag fattar inte hur det är meningen att man ska använda sinusutveckling för funktionen 1(x).
Boken är väldigt dålig på att förklara saker ordentligt, och det framgår inte alls särskilt tydligt vad fasen den egentligen menar där.
Jag har försökt att sinusutveckla 1(x) på alla möjliga sätt, men jag får aldrig fram någonting som ser vettigt ut.

Tanken är nog att båda leden i PDF:en ska skrivas som sinusutvecklingar och att du ska matcha koefficienterna.

Ansätter man 1(x) = ∑ a_k*sin(k*pi/L*x) så ges väl a_k av 2/L gånger integralen av sin(k*pi/L*x) från 0 till L. Det blir a_k = 2/L * L/(k*pi) * [-cos(k*pi) + cos(0)] = 2/(k*pi)*(1 - (-1)^k). I det här problemet är c_k = BI/ρ*a_k. Hoppas det blev rätt.