Skevt skivad pyramid

Om man låter M vara mittpunkten på AB istället för BC får man två likformiga trianglar ABP och ATM.

AP/AB = AM/AT
AP/AT = (AB/AT)(AM/AT) = 1/2*1/4 = 1/8

En snygg observation som jag gärna "lånar" till uppgiften, som spar beräkningar.
Dock är det volymförhållandet som efterfrågas, men det såg du säkert.

Ja, jag tänkte att AP/AT är lika med kvoten av pyramidernas höjder, och volymen är ju proportionell mot höjden så V_ABCP/V_ABCT = 1/8, som i din lösning.

Ja, det är helt sant. Det är en kort och bra lösning.
Svårt att veta vad de avsåg på den tiden då boken skrevs.
Ett annat tetraederproblem verkar mycket svårt utan linjär algebra, då är den lätt.
Svårt att veta vilken "fot" man skall stå på, en allt är väl tillåtet, egentligen.

Skulle vara intressant att se din "approach" till detta svårare problem. Du kanske finner något uppenbart som jag inte ser.

Jag gjorde tydligen ett teckenfel när jag använde räkneregeln
k(NP)*k(AT) = –1 för ortogonala lutningar.

Med rätt tecken får jag z = a sqrt(33) / 24, vilket ger z/h = 3/24 = 1/8.

Tipset från casefold gör dock att denna beräkning kan begravas nu.