Skevt skivad pyramid

Vi fortsätter på temat pyramider...

Även denna kan (troligen) klaras av om man läst Matematik 2 på gymnasiet.


(Den kommer dock bli svår att förklara begripligt då rymdgeometri inte låter sig illustreras lätt på F.B.)

Kan du inte lägga upp bild med // visar att linjerna parallella istället för text med code?

Jag är inte helt med.
Det finns inga parallella linjer i detta problem (vad jag kan se).
Uppgiften var, som många andra uppgifter från förra sekelskiftet, endast beskriven i ord, utan figur.

Tetraeder sedd uppifrån: https://imgur.com/Z1JJz67

Har kanterna AT och BT längden s?
Kan du beskriva hur du lägger in planet med ledning av figuren?

AT=BT=CT=2s

Planet
Sätt av en punkt P på CT så att APB bildar ett plan vars normal har riktning CT.

Jag har försökt mig på en rymdgeometrisk figur här. Jag har använt a istället för s i mina räkningar, men jag hoppas figuren klargör en del saker.

OK, tack!

Den liksdiga bastriangeln ABC (med sidolängden a) har höjden
h' = (√3)a/2 och arean A₀ = (√3)a²/4.

Säg att tetraederna ABCT och ABCP har höjderna h och z. Tetraedervolymer ABCT och ABCP:

V(T) = A₀h/3 och V(P) = A₀z/3.

Sökt volymkvot, (överdel)/(underdel),

(V(T) – V(P))/V(P) = (h – z)/z.

Återstår att bestämma h och z! Figur: https://imgur.com/dovChFd

Notera att fotpunkten för höjden från T sammanfaller med bastriangelns medelpunkt M.
Dessutom gäller

|AM| = 2h'/3 = (√3)a/3 = a/√3

och |MT|² = |AT|² – |AM|²,

h² = (2s)² – (a/√3)²,

h = a√(11/3).

Riktningskoefficienten för kanten AT blir k(T) = h/|AM| = √11.

Enligt text skall planet genom BC och P skära kanten AT vinkelrätt.
Detta villkor ger (om jag har räknat rätt)

z = (√33)a/20.

Volymkvot:

Innan jag räknar igenom dina räkningar och kommenterar (jag får ett annat svar nämligen) så tänkte jag fråga om din pyramid skall vara skev ty M är ej mittpunkt på AN och NP är ej vinkelrät mot AT. Borde ej N=B med C liggandes vinkelrät ner, in i, pappret, på mitten av AN (AB)?

(Jag får förhållandet 1:7.)

Figuren visar ett vertikalt snitt genom punkterna A, T och M, där M är bastriangelns medelpunkt (”tyngdpunkt”).

Avståndet |AN| = höjden h' i bastriangeln, så |AM| = 2h'/3.

Ja, N är mittpunkten på sidan BC i den likbenta triangeln BPC.

Höjden z skall bestämmas så att vektorn |NP> blir vinkelrät mot |AT>.

Överdel/underdel ?

Jag utgick från denna figur och fick att volymerna förhåller sig 1:7.

Här är mina räkningar.

OK, jag kikar på dina beräkningar senare idag när jag är klar med diverse hushållssysslor.

Noterar dock att vi inte har beräknat samma slags volymkvot. Med mina beteckningar har du beräknat V(P) / V(T) medan jag, i min kalkyl, utgår från kvoten [V(T) – V(P)] / V(P).

Det kan vara en anledning till skillnad.

(Sitter just nu med ett besvärligare pyramidproblem som får mig att undra om inte hushållssysslor är mera meningsfullt. Jag kan posta den senare när #1 är avklarad. De hade en viss 'stil' 1920, att knäcka geometriproblem med "klassisk" geometri. Att tolka danska gör inte saken enklare...)