maclaurin & taylorutvecklingar

Undrar hur man avgör hur långt man bör utveckla för att få ett rimligt svar vid uppgifter där utveckling krävs


tex: beräkna gränsvärdet limx->0 (1-cosx)/(ln(1+x)-x)


Här vill jag ju utveckla cosx och ln(1+x) , känns som det alltid vid gränsvärdesuppgifter räcker med att utveckla tills man får en variabel , är jag rätt ute ?


Vid vilka typer av uppgifter behöver man utveckla längre, och hur avgör man vilken grad man ska utveckla till ?

Edit: insåg att jag var tvungen att uteckla ln(1+x) 2ggr för att inte få x-x i nämnaren, är det så man avgör längden på utvecklingar ?

Ja, man får "se" på vad som "blir kvar". Om du har Ax^2 + x^3B_1(x) i täljaren så får du utveckla nämnaren till t.ex. Bx^2 + x^3B_2(x) för att få ett gränsvärde A/B när t.ex. x->0.

Generellt gäller att man utvecklar så långt man behöver för ändamålet.

Ofta ser man det när man undersöker funktioner och får;
a) termer i stil med "x-x" i nämnaren (vid x-> inf eller x-> 0), eller
b) högre grad i täljaren än nämnaren, ska bryta ut dominerande faktor så att det blir 1/x i nämnaren (vid x-> 0)

Alltså, att det blir division med noll i täljaren är ett tecken på att man utvecklat för kort. Det får man "se" eller prova sig fram. I gränsvärdesundersökningar i envariabelkurser brukar det räcka med utvecklingar av ordning ~3-4.

Edit: Se även https://math.stackexchange.com/quest...ansion-is-good