Diagonal i 8-dimensionell kub

Vad är problemet? En åttadimensionell enhetskub (sidlängd=1) har diagonalen sqrt(8), helt rätt.

En tredimensionell kub med volymen sqrt(2)^3 har sidlängd sqrt(2) och diagonalen sqrt(2)*sqrt(3) vilket är sqrt(6).

En rektangel med sidorna sqrt(2) och sqrt(3) har diagonalen sqrt(5).

Rätt och riktigt såhär långt. Så vad är problemet? Att en area har samma mätetal som en längd betyder ingenting och vice versa.

Ett relaterat problem som är konstigt på riktigt är sphere packing i högre dimensioner!

Tänk dig en enhetskvadrat. Packa denna med fyra tvådimensionella sfärer (cirklar) med diameter 0,5. Om du går längs en diagonal (med längden sqrt(2)) så kommer du att stöta på första cirkeln vid [sqrt(2)-1]/4, du kommer att lämna den vid [sqrt(2)-1]/4 +1/2 = [sqrt(2)+1]/4. Därefter kommer du att stöta på den andra cirkeln vid 1/sqrt(2)+ [sqrt(2)-1]/4 och så vidare. Rita figur.

Poängen är att avståndet mellan de diagonalt motsatta cirklarna är [sqrt(2)-1]/2.Du kan alltså trycka in en liten cirkel i mitten med diameter [sqrt(2)-1]/2.

Gör du precis samma sak med en kub. Du kommer då att finna att avståndet mellan de diagonalt motsatta sfärerna är [sqrt(3)-1]/2. Ok? Inga konstigheter. Du kan trycka in en liten sfär i mitten med diameter [sqrt(3)-1]/2.

Generalisera nu till en n-dimensionell enhetskub och gå längs dess diagonal. Du finner nu att de diagonalt motsatta hypersfärerna befinner sig på avståndet [sqrt(n)-1]/2.

Tryck nu in din ”lilla” hypersfär i mitten. Det har diametern [sqrt(n)-1]/2 och kom ihåg att hyperkuben har sidan 1.

Det mentalt påfrestande här är bara det att om n > 9 så är sqrt(n) > 3 och då är ju [sqrt(n)-1] > 2 vilket innebär att [sqrt(n)-1]/2 > 1.

Med andra ord, den ”lilla” hypersfären i mitten har en diameter som överstiger hyperkubens sida, detta samtidigt som den är helt innesluten!

TS trådar i samma ämne sammanfogade.

Fysik, matematik och teknologi: allmänt --> Matematiska och naturvetenskapliga uppgifter
/Moderator