Hur visar man (1-e^(-j2pi/3)) = sqrt(3)*e^(j*pi/6) ?

Som sagt, stötte på detta men vet inte hur man kan visa följande samband. Jag är dålig på trigonometri.

(1-e^(-j2pi/3)) = sqrt(3)*e^(j*pi/6)

Använd Eulers formel
samt följande
Tillägg: exp(a) betyder e^a

Vi har att
\begin{align*}
1-e^{-i\, 2\pi/3}
&=1-e^{i\,(-2\pi/3)}
\\&=1-\bigl(\cos(-\tfrac{2\pi}{3})+i\sin(-\tfrac{2\pi}{3})\bigr)
\\&=1-\bigl(\cos(\tfrac{2\pi}{3})-i\sin(\tfrac{2\pi}{3})\bigr)
\\&=1-\cos(\tfrac{2\pi}{3})+i\sin(\tfrac{2\pi}{3})
\\&=1-\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}
\\&=\tfrac{3}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}
\\&=\sqrt{3}\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}+i\tfrac{1}{2 }\bigr)
\\&=\sqrt{3}\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{6})+i\sin( \tfrac{\pi}{6})\bigr)
\\&=\sqrt{3}e^{i\,\pi/6},
\end{align*}
vilket skulle visas.

Kan även "inses" genom att rita vektorerna i det komplexa talplanet och betrakta den resulterande romben. Kanske någon duktigt ASCII-ritare, som Nail, kanske ritar en bra bild.

Vad fint du skrivit

Tack, Ja det blir snyggt.
Om det är något du skall lämna in så tag gärna med som "notis" den grafiska lösningen med romben och dess resultant. Förbryllar säkert någon lärare…

Måste säga att jag inte riktigt förstår lösningen, samt hur man ritar in vektorerna i komplexa planet. Då måste jag ju har 3 stycken vektorer eller? Det är ju bara ett komplext tal här.

"1" är en vektor
Rita sedan e^{i (-2π/3)}
-e^{i (-2π/3)} blir då motsatt håll
1+ ( -e^{i (-2π/3)} ) blir denna vektor men start i (1,0) - vid "ettan"
Drag resultanten från origo och fundera lite på vilka vinklar som klyvs i 2 lika delar och vad du kan säga om sidorna och för diagonalen

Du måste veta hur man kommer fram till exempelvis
Du får rita en enhetscirkel och rita in en triangel som har ett hörn i origo, ett hörn i punkten [x,y]=[cos(-2π/3),sin(-2π/3)] och ett tredje hörn på antingen x-axeln eller y-axeln.

Sedan är det din uppgift att räkna ut x-värdet ("cos-värdet") för punkten som ligger på cirkeln. Detta måste du nog klara för att klara din kurs.

Är det detta du har problem med?

Tillägg:
med "triangel" menade jag rätvinklig triangel

Man borde fan lösa alla sina ekvationer på en t-shirt och sälja det på internet.
Är j bara en bokstav eller ?
e och pi vet man ju vad det är.

\(j = i = \sqrt{-1}\)

Valet av \(i\) eller \(j\) beror på ämnesområde, men även nationalitet.

j är snyggare och syns bättre : )

Kanske denna bild hjälper.