Hur kan jag bevisa att 1/√(x²+1) går emot 1 och 1/x för små och stora värden på x?

Jag kan se varför det här uttrycket går emot de här värdena, eftersom låga värden på x kommer att bli försumbart små och ge uttrycket 1 medan höga värden på x istället kommer att göra termen 1 innanför rottecknet försumbart liten och därmed ge uttrycket 1/x.
Däremot så vet jag inte riktigt hur man ska bära sig att för att faktiskt bevisa de här sakerna...?

Jag testade att använda L'Hôpitals regel, men den verkade inte alls leda till någonting vettigt.

Bryt ut X.

om vi sätter nämnaren till f så har vi att f(x)~f(0)+f'(0)x+(1/2)f''(0)x^2

f(0)=sqrt(1)=1
f'(x)=x/sqrt(x^2+1)
f'(0)=0
f''(x)=-(x^2/(1+x^2)^(3/2))+1/sqrt(1+x^2)
f''(0)=1

Så du kan skriva nämnaren som 1-x^2/2

Nu har du ett mycket enkelt gränsvärde

1/(1-x^2/2) som går mot 1 då x går mot 0.

Här skall man tydligen visa att f(x) = 1/√(1+x²) är kontinuerlig i x = 0
eftersom direkt insättning ger f(0) = 1.

Stäng in funktionens nämnare! För alla reella x gäller

1 ≤ √(1+x²) ≤ √(1 + 2|x| + x²) = 1 + |x|, så

1/(1+|x|) ≤ f(x) ≤ 1.

Eftersom vänsterledet går mot 1 då |x| går mot 0 gäller enligt instängningssatsen att 1/√(1+x²) –> 1 då |x| –> 0.

Anm. Vill man vara petig kan man visa att 1/(1+|x|) har gränsvärdet 1 med en
'ε/δ-kalkyl'.