Utvidga en funktion?

Frågan:

"Avgör om följande funktioner kan utvidgas så att de blir kontinuerliga i hela R^2

a) f(x,y) = Sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2), (x, y) ≠ (0,0)"

Vad menas med utvidgning?

Om du kan välja ett värde för f(0,0) så att funktionen blir kontinuerlig.

Men är det inte antingen tillåter man x=0 och y nollskiljt eller x nollskiljt men y=0 ? Är båda 0 samtidigt blir ju nämnare 0 och det är aldrig definierat.

Är jag ute och cyklar?

Jag tolkar utvidgning att man ökar definitionsmängden. Nu är det ju R \ x,y=!{0,0}.

Givetvis, det är därför frågan är om du kan få en kontinuerlig funktion genom att göra ett tillägg där du definierar f(0,0) till något.

Skrivsättet ser ut så här https://d2vlcm61l7u1fs.cloudfront.ne...FphpAL7evn.png

Tack! Hur ska man beräkna det? Eller är det godtyckligt? Facit är specifikt och säger "Ja, sätt f(0,0) = 1"

På en annan fråga, huruvida man kan utvidga f(x,y)= (x+y)^4/(x^2+y^2), (x,y) ≠ (0,0) är svaret nej.

Du måste beräkna gränsvärdet när du går mot den "besvärliga" punkten från alla möjliga håll. Existerar gränsvärdet och är samma från alla håll kan du göra en kontinuerlig funktion. Annars blir den inte särskilt kontinuerlig.

När det gäller f(x,y)= (x+y)^4/(x^2+y^2) så om man går längs x-axaln mot origo så är gränsvärdet 0.
Så frågan är är 0 gränsvärdet eftersom det inte får finnas mer än ett gränsvärde.

Finns lim f(x,y) när man går mot origo? Regeln gär är väl att för alla ksi så skall det finnas ett delta så att || (x,y) - (0,0) || < delta så gäller det att |f(x,y)-0| < ksi.

Här blir det att sqrt( x^2 + y^2) < delta
Men |f(x,y)-0| = | ((x^2 +y^2)(x+y)^2)/(x^2 + y^2) +2xy((x+y)^2)/(x^2 + y^2) | pga triangelolikheten så är det här strikt större än delta.

Men om ksi är just delta så funkar ju inte |f(x,y)-0| < ksi.

För den första funktionen så kan man åter följa en axel mot origa. Sin(x)/x har känt g.v = 1.
Med || (x,y) - (0,0) || < delta och |f(x,y)-1| så | sin(x^2 + y^2)/(x^2 + y^2) -1| < 2/(delta)^2
Tror man kan välja delta = 1/(sqrt(ksi)) ?

Använd definitionen för kontinuitet.
I en variabel så är det om lim x->a f(x)=f(a) på intervall I för alla a i intervallet så är f(x) kontinuerlig på I.

Det går säkert att göra likadant i flera variabler.

Skapa en ny funktion g(x,y) där g(x,y) är definierat för (0,0) sådan att lim x,y->0,0 f(x,y) = g(0,0) och att g(x,y) ser exakt likadan ut överallt som f(x,y).

g(0,0) = 0 om du beräknar gränsvärdet

Dvs g(x,y) = { f(x,y) då (x,y) neq (0,0), 0 då (x,y)=(0,0) }

Nästan rätt. Sätt f(0,0)=1 så blir den kontinuerlig i origo.