Vad är iⁱ?

Utgå från titeln! Vad är en imaginär enhet upphöjt till en imaginär enhet?

iⁱ=?

https://ehinger.nu/undervisning/star...jt-till-i.html

gillar den här killen (han alltid så glad) https://www.youtube.com/watch?v=ABk1HK2AR2E

iden är att skriva bas som exp(ln(i))=i.

Skoj på slutet när han antyder komplikationen med att ln är en flervärd funktion. Och sen bara sopar det under mattan.

Men med standardvalet av "gren" för ln, dvs att man håller det komplexa argumentet (vinkeln i det komplexa talplanet) mellan -π och π, så blir svaret alltså
i^i = e^(-π/2) = ung. 1/5.

För dem som vill ta den här frågeställningen ett steg längre finns även tråden
(FB) Fråga om kvaternioner (i^j^k = ?).
Men vidare frågor om det tas förstås lämpligen i den tråden.

Vad är i^(i^(i^...))) då?
(Verkar faktiskt finnas ett svar på den frågan med..)

Matt Parker från Numberphile räknade ut det här värdet i ett av sina videoklipp för ett par år sen, som vanligt i sin karakteristiskt sarkastiska stil:

https://youtu.be/9tlHQOKMHGA

(Surdeg som jag nog ville mer om, men nu släpper.)

Ger en hint om svaret på min fråga förut om
i^(i^(i^...))).

Numeriskt kan man använda algoritmen
a(0)=i
a(1)=i^a(0)=i^i
a(2)=i^a(1)=i^(i^i)
a(3)=i^a(2)=i^(i^(i^i))
etc
Dvs
a(n+1)=i^(a(n))
vilket faktiskt verkar konvergera. Kör tills ett önskat antal decimaler inte ändras längre. (Ganska lätt på räknare som räknar med komplexa tal, t ex TI-84.)

Man kan också notera att ett ev gränsvärde x måste uppfylla ekvationen
i^x = x
och lösa med valfri numerisk metod, t ex (komplexa) Newton-Raphson.

Båda dessa metoder ger att
x = 0.4382829367... + i 0.3605924719...

Med s k speciella funktioner finns det t o m en exakt lösning, närmare bestämt med Lambert W-funktionen:

https://en.wikipedia.org/wiki/Lamber...tion#Example_4

i^i = exp(-pi/2-2*pi*n) för n heltal. Du måste välja en förgrening.

Den här mannen är bra och har pedagogiska illustrationer:
https://www.youtube.com/watch?v=9tlHQOKMHGA

Jag rekommenderar också hans "pie-day"-videor - väldigt roliga!