Månsson/Nordbeck - Endimensionell analys - Lösningar

y'+x^2*y=x^2

Tar fram integrerande faktor e^(x^3/3) men kör fast. Tror jag integrerar fel eller något men en lösning vore fint för att se hur det ska gå till

Problem: Lös differentialekvationen
\[
y'(x)+x^2y(x)=x^2.
\]

Lösning: Vi har att
\begin{gather*}
y'(x)+x^2y(x)=x^2
\quad\Leftrightarrow\quad
y'(x)=\bigl(1-y(x)\bigr)x^2
\quad\Leftrightarrow\quad
\frac{y'(x)}{1-y(x)}=x^2
\\\Leftrightarrow\quad
\int\!\frac{y'(x)}{1-y(x)}\,\mathrm{d}x=\int\!x^2\,\mathrm{d}x
\quad\Leftrightarrow\quad
-\ln(|1-y(x)|)=\tfrac{1}{3}x^3+C_1
\\\Leftrightarrow\quad
|1-y(x)|=e^{-\tfrac{1}{3}x^3+C_1}
\quad\Leftrightarrow\quad
|1-y(x)|=C_2e^{-\tfrac{1}{3}x^3}
\\\Leftrightarrow\quad
1-y(x)=\pm C_2e^{-\tfrac{1}{3}x^3}
\quad\Leftrightarrow\quad
y(x)=1+Ce^{-\tfrac{1}{3}x^3}.
\end{gather*}

Låt \(y(x)=e^x\), \(0\le x\le1/2\).

Då kroppen \(K\) är homogen sätter vi densiteten till konstant \(\rho_0\), speciellt i \(x\)-led, d.v.s. \(\rho(x)=\rho_0\), \(0\le x\le1/2\).

(Man kan även sätta \(\rho_0=1\) för enklare räkningar. ”För en matematiker är alla konstanter 1.” – Tomas Claesson)

Kroppens totala massa ges av
\begin{align*}
m&
=\int_K\mathrm{d}m
=\int_K\!\rho(x)\,\mathrm{d}V
=\int_K\!\rho_0\,\mathrm{d}V
=\rho_0\int_K\mathrm{d}V
\\&
=\rho_0\int_0^{1/2}\!\pi y(x)^2\,\mathrm{d}x
=\rho_0\pi\int_0^{1/2}\!e^{2x}\,\mathrm{d}x
=\rho_0\pi\bigl[\tfrac{1}{2}e^{2x}\bigr]_0^{1/2}
\\&
=\tfrac{1}{2}\rho_0\pi(e-1).
\end{align*}

Då
\begin{align*}
\int_K\!x\,\mathrm{d}m&
=\int_K\!x\rho(x)\,\mathrm{d}V
=\int_K\!x\rho_0\,\mathrm{d}V
=\rho_0\int_K\!x\,\mathrm{d}V
=\rho_0\int_0^{1/2}\!x\cdot\pi y(x)^2\,\mathrm{d}x
\\&
=\rho_0\pi\int_0^{1/2}\!xe^{2x}\,\mathrm{d}x
=\rho_0\pi\Bigl(
\bigl[x\cdot\tfrac{1}{2}e^{2x}\bigr]_0^{1/2}
-
\int_{0}^{1/2}\!1\cdot\tfrac{1}{2}e^{2x}\,\mathrm{d}x
\Bigr)
\\&
=\rho_0\pi\Bigl(
\tfrac{1}{4}e
-
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1/2}\!e^{2x}\,\mathrm{d}x
\Bigr)
=\rho_0\pi\Bigl(
\tfrac{1}{4}e
-
\tfrac{1}{2}\bigl[\tfrac{1}{2}e^{2x}\bigr]_{0}^{1/2}
\Bigr)
\\&
=\rho_0\pi\bigl(\tfrac{1}{4}e-\tfrac{1}{4}(e-1)\bigr)
=\tfrac{1}{4}\rho_0\pi
\end{align*}
har vi att (se t.ex. (14.10) i Månsson/Nordbeck)
\[
x_\text{m.c.}
=\frac{1}{m}\int_K\!x\,\mathrm{d}m
=\frac{1}{\tfrac{1}{2}\rho_0\pi(e-1)}\cdot\tfrac{1}{4}\rho_0\pi
=\frac{1}{2(e-1)}
\approx0.290988.
\]

(P.S. Detta är uppgift 14.20 i Månsson/Nordbeck. Ställ gärna bokrelaterade frågor i den speciella tråd som finns för denna bok. Flera är kanske intresserade av att finna uppgiften snabbt, vilket är svårare i detta allmänna "svarta hål".)

Tack!

Uppgift 15.67 i min bok. Tror vissa här har den i 14.67? Beroende på upplaga

Ett kärl innehåller 400 liter rent vatten. Vid en viss tidpunkt börjar man att med hastigheten 8 liter per minut tappa i förorenat vatten. Föroreningens koncentration är 3 gram per liter. Samtidigt startar en omrörare, så vätskan i kärlet kan anses vara blandad. Man börjar också släppa ut det förorenade vattnet vattnet ur kärlet med hastigheten 8 liter per minut. Hur lång tid dröjer det till dess att koncentrationen av förorening i kärlet når upp till 2 gram per liter?

Jag gjorde ansatsen y'=3*8-(8/400)*y men får svaret ln (19/4) vilket är helt uppåt väggarna enligt facit.

Din ansats är helt korrekt och lösningen till diff.ekv., som är separabel, ges av
\[
y(t)=1200(1-e^{-t/50})
\]
då vi använt begynnelsevillkoret \(y(0)=0\) för att bestämma konstanten.

Uppgiften frågar om när koncentrationen av förorening uppgår till 2 gram per liter, d.v.s. \(2\cdot400=800\) gram i kärlet varför vi skall lösa ekvationen
\begin{gather*}
y(t_0)=800
\quad\Leftrightarrow\quad
1200(1-e^{-t_0/50})=800
\quad\Leftrightarrow\quad
1-e^{-t_0/50}=\tfrac{2}{3}
\quad\Leftrightarrow\quad
e^{-t_0/50}=\tfrac{1}{3}
\\\Leftrightarrow\quad
-\tfrac{t_0}{50}=\ln(\tfrac{1}{3})
\quad\Leftrightarrow\quad
t_0=-50\ln(\tfrac{1}{3})
=-50\bigl(\ln(1)-\ln(3)\bigr)
=-50\bigl(0-\ln(3)\bigr)
=50\ln(3)
\end{gather*}
vilket är det korrekta svaret.

Tack. Jag hade använt integrerande faktor. Ska se om jag får rätt på det då.

Man kan använda båda metoderna alltså? Såg nu att jag hade gjort ett idiotfel med integrerande faktor. Hade fått 8/400 till 50 istället för 1/50.

Båda metoderna går bra. Lösningen med integrerande faktor är mera förlåtande beräkningstekniskt än "ln"-lösningen då man i den förra måste bestämma/motivera tecknet på argumentet \(y(t)-1200\) i ln(|...|) för att eliminera absolutbeloppet om man skall vara noggrann. (Om du ritar vektorfältet för diff.ekv. så ser du att det finns två markanta områden, norr och söder om linjen \(y=1200\). Inom varje område konvergerar \(y(t)\) mot linjen \(y=1200\), fast från två olika håll. Endast det södra området är giltig då man startar med absolut rent vatten, \(y(0)=0\).)

Tackar

x^2*y*(dy/dx)=1+x^2 , y(2)=2

Hur löser man denna?

Uppgift 14.21e eller 15.21e