Talserier (TRÄD) som ekvationer

Ganska självklart men vill bolla lite så att jag inte missar något.

Säg att vi har en talserie där varje efterföljd villkorligt förgrenar sig: ibland en efterföljd, ibland fler.

Starta på siffran n.

Om n uppfyller villkor v1, ge då n förgreningen g=f1(n),
Om n uppfyller villkor v2, ge då n förgreningen g=f2(n)
osv.

För en serie som bara har ett villkor och vars villkor alltid är uppfyllt kan vi i de allra flesta enkla fall uttrycka serien som en formel, särskilt om varje iteration bara är multiplikation och addition. Vi har då en serie som bara utvecklas i en dimension så att säga.

Men om man komplicerar villkoren och beräkningarna av nästa tal så hamnar vi snabbt i "kryptografins" värld. Möjligheten att uttrycka hela trädet i en elegant ekvation utan villkor försvinner och att veta hur trädet ser ut i en nod längre bort i serien än där man tittar kräver att man följer upp trädet genom att testa villkor och beräkna följande tal steg för steg hela vägen fram. Typ.

Påståenden som "innehåller den här talserien några tal delbara med sju?" kan bli omöjliga att bevisa även om villkoren är rätt enkla.

Hur skam an se på sådana "villkorsserier" som grenar ut sig till serier i flera dimensioner eller ibland bara till endimensionella talserier om man t.ex. vill bevisa att ett visst tal eller kategori av tal förekommer i den?

Måste man inte ha något f(n) som kan "skapa" det eftersökta, eller att man har det som n(start), tex om man undrar om det kan finnas en 7:a och de olika funktionerna opererar med multiplikation så behöver man väl en 7:a in eller att någon funktion har 7 som koefficient eftersom 7 är ett primtal?

Eller tänker jag alldeles för "enkelt"?

Börja med n = valfritt heltal.
Om n är jämt, dela det på två.
Om n är ojämt, gångra det med 3 och plussa på 1.
Fortsätt tills n blir 1.

Kommer n alltid att sluta på 1 eller kommer vissa startvärden på n att aldrig nå noll?

Fundera nu på hur sjutton du ska bevisa det. Igen har lyckats och lyckas du så hamnar du i matematikens hall of fame.

Det är ett ointressant problem i mina ögon, men jag har andra problem av samma karaktär som jag brottas med.

Vilka tankar som helst går bra. Jag öppnar upp för alla typer av kommentarer.