Tangentplan

Hej,

Har en uppgift jag inte riktigt förstår hur jag ska lösa, tänkte kolla om någon här har lite bättre koll.

Bestäm konstanten C så att ytan x^2+3y^2+4z^2 = C tangerar planet genom
punkterna (0, 1, 2), (1, 3, 0) och (5, −1, 1).

Tacksam för svar eller tips.

Mvh,

Tore

Normalen till nivåytan f(x,y,z) = x^2+3y^2+4z^2 = C i punkten (a,b,c) ges av gradianten till f evaluerad i (a,b,c), dvs
grad(f)(a,b,c) = (2a, 6b, 8c).

Normalen till planen kan fås av att ta två vektorer i planet (som fås ur de givna punkterna) och kryssa dem. T.ex. ligger båda (1, 2, -2) och (5, -2, -1) i planet. Kryssar vi dem får vi normalvektorn till planet, dvs: (-6,-9-12), vilket är parallelt med (2,3,4). vilket ger att planet på normalform (vilket erhållits efter att en punkt i planet satts in i planets ekvation) ges av 2x+3y+4z=11.

Här noterar jag dock att den normal vi fått fram för planet inte för någon punkt (a,b,c) är parallel med grad(f), varför ytan aldrig kan tangera planet. Är du säker på att du skrivit upp uppgiften rätt? Skulle ytan istället givits av 2x^2+3y^2+4z^2=C skulle lösning finnas.

Är det spark nog i rätt riktning?
Reserverar mig för räknefel.

Hej,

Tack för ditt svar!

Frågan är från en gammal tenta, länkar en bild på frågan.

https://imgur.com/EphY0Vw

Är fortfarande inte riktigt med på vad du gör, stoppar du in punkterna i funktionen och jämför med grad(f)?

Sorry om jag är snurrig.

C=44/9?

C=11

Ja, nu fick jag det till 11 också... nu skall jag endast begripa varför...

(Så himla seg idag, håller på att somna vid tangentbordet...)

Frobenius är helt rätt på det, men normalen skall skrivas som k n för något k som gör att π(kn)=0, π är planet, vilket ger (2,1,1) och insatt i f(x,y,z) ger detta 11.

Om du lyckas få mig att förstå är jag dig evigt tacksam, har suttit med den här uppgiften sedan 15, börjar tappa förståndet...

Jag ger mig på en förklaring. Är den helt snurrig rätar säkert Nail eller Chepito upp mig

p0 = {0, 1, 2}
p1 = {1, 3, 0}
p2 = {5, –1, 1};
u = p1 - p0;
v = p2 - p0;
n = Cross[u, v] = {-6, -9, -12}
π(x,y,z) = ({x,y,z}-p0) DOT n = -3 (-11 + 2 x + 3 y + 4 z)

Lös Grad[f(x,y,z)=n] vilket ger
{x0,y0,z0} = {-3, -(3/2), -(3/2)}

Skapa en ny vektor k*{x0,y0,z0} och finn k så att den uppfyller planet π:s ekvation
k=-2/3. Vektorn blir då {2, 1, 1}.

Sätt in {2, 1, 1} i f(x,y,z) och du får C=11