Uttrycka operatorer i spherical harmonics

En uppgift jag har lyder: "Express the following operators using spherical harmonics:
a) x-hat, b) z-hat,...".

jag har lite svårt att tyda frågan. Exakt vad ska jag göra? Någon som kan förklara? Känner mig aningen förvirrad.

Du ska utveckla operatorerna i basen bestående av klotytfunktioner (spherical harmonics).

Och exakt hur ska jag göra det? Kan du visa en ansats på a) så jag har en aning om vad som ens skall göras?

Mest för att jag har absolut ingen aning om hur jag ens ska börja.

Har också lite svårt att förstå uppgiften, eftersom klotytfunktionerna Y(θ,φ;l,m) bara tar hand om vågfunktionernas vinkelberoende (θ och φ är polära vinklar och l och m (l≥0 och |m|≤l) är heltalsparametrar som numrerar funktionerna). Men i polära koordinater är ju
x = r sin(θ)cos(φ)
z = r cos(θ)
även r-beroende..? För att få en bas i 3D-rummet behöver klotytfunktionerna även multipliceras med r-beroende funktioner som t ex Laguerrepolynom.

---

Men i princip går uppgiften ut på att finna matriselement av typen
F(l₁,m₁;l₂,m₂) = ∫∫Y(θ,φ;l₁,m₁)' f Y(θ,φ;l₂,m₂)sin(θ)dθdφ
för f=x (och F=X) resp f=z (och F=Z), uttryckta i polära koordinater.

Länge sen jag gjorde sånt här nu, men jag är rätt säker på att det finns någon egenskap i klotytfunktionerna som kan användas så att man slipper att beräkna integralerna explicit. T ex vilka operatorer är de egenfunktioner till?

Det var längesen jag sysslade med kvantmekanik, så jag har snabbrepeterat för att friska upp minnet ...

I vanlig R³-representation (där x, y, z och t är oberoende variabler) har vi de multiplikativa operatorerna

^x = x, ^y = y, ^z = z ... (^xψ = x·ψ, etc)

och differentialoperatorerna

^p_x = -iћ ∂/∂x, ^p_y = -iћ ∂/∂y, ^p_z = -iћ ∂/∂z.

Någon som kan avgöra om det är en bra idé att förflytta sig till "p-rummet", där p_x, p_y, p_z är oberoende variabler?
Lägeskoordinaterna ges i p-rummet av differentialoperatorerna

^x = iћ ∂/∂p_x, ^y = iћ ∂/∂p_y, ^z = iћ ∂/∂p_z.

Jag glömde helt bort denna. Tack för svaren (även om jag är sent ute och problemet är helt irrelevant för mig sett ur tentamen, men jag vill fortarande förstå frågan)


Jag förstår inte. Ska jag integrera något? Vad betyder ens x-hatt rent principiellt? Vad är det jag är ute efter?



Hmmm. Inte säker på att jag är med. Att dessa likheter gäller är jag med på, men vad är det själva essensen i uppgiften betyder?