Pris per kilo

Om du vill ha en djupare förståelse för det hela får du sätta dig in i definitionerna, men jag varnar dig. De är inte speciellt enkla att förstå. Bara addition är rätt klurigt.

Vi börjar med att titta på en definition av de naturliga talen

- 0 är ett naturligt tal
- För varje tal x finns en omedelbar efterföljare som kallas s(x)
- Det finns inget tal x sådant att S(x)=0
- S(x)=S(y) => x=y
- Låt M vara en mängd. Om 0 tillhör M och om att x tillhör M implicerar att s(x) tillhör M så innehåller M alla naturliga tal

Sedär, då var de naturliga talen definierade. För enkelhetens skull kan vi kalla s(0) för 1, s(s(0)) för 2, s(s(s(0))) för 3 osv.

Då går vi på att definiera addition. Det gör vi så här:

x+0=x
x+s(b)=s(a+b)

Nu kanske du förstår vad det innebär att få en djupare förståelse. Vi har hållit oss till enbart de naturliga talen och definitionen av det enklaste räknesättet. Jag kan säga att det inte blir enklare när vi går till reella tal och division.

Man får närma sig det hur man vill. Jag tänker tvärtom, men det leder givetvis till samma resultat:
Om du delar upp 50 i 0,3-delar - hur många delar blir det då?

Ganska bra förklaring faktiskt. Jag blev lite klokare.

Ja, överslagsräkning är underskattat.

Dock, när man är lite insnöad på matematik (som nog de flesta av oss är här) så kanske man tänker i stil med: 50/0.3=500/3. Då 5/3 = 1+2/3 och 2/3 är välkänt 0.6666… är 5/3=1.6666… och 500/3 = 100* 5/3 = 100*1.666… = 166.67. Men, det är 'snälla' värden. Överslagsräkning är oftast full tillräckligt.

Gamla "systemet" där man räknade både måttenheter samt valutor i bråk, var enklare att huvudräkna än decimalsystemet. Bråkräkning ger sällan knepiga svar som (taget ur luften) 1,742567, utan ger en kvot i bråkform. Antagligen var det detta som gjorde "räkna med bråk" så utbrett förr. (Före miniräknarnas tid)

Exempel: Hälften av 1/3 är 1/6. Exakt. Multiplikation av bråk är betydligt simplare än att i skallen räkna hälften av
0,333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333
(!) -Jag skulle kunna fortsätta med "treor" tills universum slutar här.. Blir ändå inte exakt med decimaltal..

Nog sant, men decimaltal har sin "poäng" vid addition/subtraktion.
342/320-453/42 är inte så lätt att räkna exakt i huvudet…

Man skall behärska båda. Inget är universellt bättre än det andra.

Inte universiellt bättre, men det fanns fog för att folk räknade med bråk mer förr, när miniräknare etc. inte ens fanns i fantasin.

(Brittiska räknetal, exempelvis deras gamla pundsystem med tjugondelar och tolftedelar funkade bra!, vi hade liknande här i Sverige).

Om man tänker på vad 0,3 "verkligen är" nämligen 3 tiondelar så blir ju kilopriset vad 10 tiondelar kostar. En tiondel kostar alltså 50/3 och 10 tiondelar 10*50/3.
Detta är ju i viss mån att göra i två steg, men ska man göra division i huvudet bör man ha heltalsnämnare.
Att det fungerar att dividera 50 med 0,3 direkt kan man sedan visa genom att se att alla sådana här beräkningar blir en multiplikation med inversen ( har du 2/17 kg multiplicerar du med 17/2 etc.). Att division med ett tal x är identiskt med division med dess invers (om x skilt från 0, dvs har invers) ligger i definitionen av inversen som det tal 1/X som multiplicerat med X blir 1.
Alltså är 50 / (0.3) = 50 / (3/10) = 50 * (10/3)