Saltlösning 1000l rent vatten blandas 0.1kg salt per liter?

Jag skulle gärna vilja ha en "second opinion" på hur följande uppgift bör lösas.

I en tank finns 1000 l rent vatten. Klockan 0 bo ̈rjar saltlo ̈sning, som inneh ̊aller 0.1 kg salt per liter, stro ̈mma in i tanken med ett volymflo ̈de av 2 l/min. I tanken antas det ske en fullsta ̈ndig blandning. Den homogena blandningen pumpas ut ur tanken med volymflo ̈det 4 l/min.

1. Hur m ̊anga kg salt finns det i tanken efter 50 minuter?

2. Hur m ̊anga kg salt inneh ̊aller tanken som mest?

Denna fråga har ställts tidigare i veckan och delvis besvarats, dock ej fullständigt IIRC. Kolla "huvudtråden".

Hittar inte den snarlika frågan så detta kanske redan har utretts.

Man kan väl försöka härleda (differential)ekvationen för salthalten i tanken och analysera lösningen.

Beteckningar med föreslagna enheter:
t: tid, s
Mv(t): mängden salt i tanken, kg
Cv(t): koncentrationen av salt i tanken, kg/l
Cin: koncentrationen in i tanken, kg/l
Qin: flödet in i tanken, l/s
Qut: flödet ut ur tanken, l/s
Vo: tankens initiala volym, l
V(t): tankens volym, l

Härledningen baseras på en massbalans; den substansmängd som kommer in under en liten tid Δt är lika med det som ackumuleras i tanken plus det som åker ut:

Ci·Qin·Δt = Cv·Qut·Δt + ΔMv

Men Cv = Mv/V = Mv/(Vo-(Qut-Qin)*t)

Division med Δt samt limesövergång ger
dMv/dt +Mv(t)*Qut/(Vo-(Qut-Qin)*t) = Qin·Ci

Den går säkert att lösa analytiskt men jag mäktar inte med detta nu. Men lyckas man med det kan man ju räkna ut vad Mv-max och Mv(50 minuter) blir.

Jag har gjort en numerisk lösning i Octave:

https://s1061.photobucket.com/user/i...ail1d.png.html

Kurvan blir symmetrisk och toppar på 25 kg salt vid halva maxtiden. Eftersom utflödet är större än inflödet töms tanken vid tiden 1000/(Qut-Qin) = 30 000 sekunder (500 minuter)).

Efter 50 minuter finns 9 kilo salt i tanken.

Eftersom jag inte har den analytiska lösningen kan jag inte bevisa ovanstående men diffekvationen tror jag nog är rätt.

Octavekoden:

Ci = 0.1;
Vo = 1000;
Qin= 2/60;
Qut= 4/60;

tmin = 0;
tmax = Vo/(Qut-Qin);

f = @(Mv,t) [Qin*Ci - Mv*Qut/(Vo-(Qut-Qin)*t)];
t = linspace(tmin,tmax,31)';

y = lsode(f,0,t);

plot(t,y)
axis([tmin tmax 0 25])
grid on

Diff.ekvationen
\[
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}M(t)+M(t)\cdot\frac{K}{A-Bt}=C, \qquad M(0)=0
\]
har lösningen
\[
M(t)=\frac{C}{K-B}\Big((A-Bt)-A^{1-K/B}\cdot(A-Bt)^{K/B}\Big)
\]
Jag minns inte ursprungsvärdena på flödet, koncentrationen etc. men jag tror \(K/B=2\) varför \(M(t)\) är en konkav parabel med nollställen \(t=0\) och \(t=A/B\). Maximum \(\frac{1}{4}CA/(K-B)\) uppnås för \(t=\frac{1}{2}A/B\).

Tillägg: Då \(K/B=2\) är maximum \(\frac{AC}{4B}\).

Ok.
Då kom jag fram till rätt diffekvation i alla fall

Tack, fick samma svar!