Matematiska och filosofiska tankenötter

Eller så kan man säga så här: Det är fortfarande en överraskning om den kommer på fredagen. Eleverna vet fortfarande inte vilken timme det kommer att vara.

Nej han kommer inte att lyckas med detta.

Tänk er denna 3 * 3 * 3 kub uppdelad i 3 plan... då består ett plan av 9 stycken småkuber...

För att musen skall kunna nå den centrala "lillkuben" i det mellersta planet så måste hann innan detta avverka 26 småkuber i tre olika plan... kriteriet för att musen skall kunna nå den centrala lillkuben är att musen befinner sig mellan två ändkuber (alltså kuber som befinner sig i en av de 4 kanterna på den stora kuben). Saken är dock den att det är omöjligt att hamna i ett sådant läge efter att ha avverkat 26 småkuber. Det är tillochmed omöjligt att avverka ett plan åt gången och att hamna mellan två ändkuber innan man går upp "ett steg" till nästa plan.

Min beskrivning är nog inte den lättaste att förstå, jag har bara suttit och klurat på det här en stund och det är inte helt lätt att förklara hur jag tänker.

Jag vill hävda att om man kokar ett ägg samt omgående slänger in det i frysboxen så är det alltid varmast och kallast på skalet. Förklaringen står att hämta ur teorin för analytiska funktioner ( funktioner där derivatan existerar överallt i funktionens definitionsområde ) . I denna teori finns en sats , kallad maximumprincipen , som säger att en analytisk funktion alltid antar sitt max och min på randen såvida den ej är en konstant.

Påståendet följer dels av att temperaturen är en analytisk funktion , dels av att randen i det här fallet utgöres av äggets skal.
Tyvärr saknar jag tillräcklig kompetens inom fysik för att kunna ställa upp ekvationerna , något bättre då det
gäller matematik dock.

Det estetiskt mest tilltalande sättet att lösa ett problem är väl att inte behöva göra några beräkningar utan att istället hänvisa till en allmän princip. Inte minst på grund av detta ,tycker jag att påståendet förefaller plausibelt eller som fysikerna brukar uttrycka sig : The symmetry of the problem suggests ...

Det stämmer att det är 50% sannolikhet att vinna för Bart. En viktig iaktagelse för att lista ut detta är att den sista slanten inte kan göra om ett underläge till en vinst.

Så om de singlar ett udda antal slantar var så måste någon av dom vinna och då har de självklart samma sannolikhet att vinna (50%).

Då de singlar ett jämnt antal slantar har de båda samma sannolikhet att leda innan Bart kastar extratärningen, men den kan ju inte göra om en förlust till en vinst så om Lisa leder innan extrakastet så kommer hon att vinna. Dock kan det ju bli lika om de singlar ett jämnt antal slantar. I detta fall kan Barts extrakast ses som att de börjar om och singlar en slant, dvs. 50 % sannolikhet att vinna även i det här fallet.

För att de inte ska kunna ramla ned i hålet de täcker.

Maximumprincipen för analytiska funktioner (här avses analytisk i en komplex variabel). Och analytiska funktioner satisfierar Cauchy-Riemanns ekvationer, vilket i sin tur är ekvivalent med att de analytiska funktionernas real- och imaginärdelar är harmoniska funktioner, dvs de satisfierar Laplaces ekvation.
För reellvärda harmoniska funktioner finns en motsvarande och ekvivalent princip, maximumprincipen för harmoniska funktioner.
Den har samma innebörd: en reellvärd harmonisk funktion på ett område antar extrema på områdets rand. (Konstanta funktioner är ointressanta och kan här bortses från)

Däremot har jag inte hittat någon motsvarande maximumprincip för funktioner som satisfierar en tidsberoende ekvation, till exempel vågekvationen. Finns kanske?

Om jag vågar mig på en fysikalisk gissning, så är det maximumprincipen som är orsaken till att en permanentmagnet inte kan bringas att levitera i ett permanant statiskt magnetfält (Earnshaw's theorem).
För statiska magnetfält gäller att magnetiska flödestätheten B satisfierar Laplaces ekvation, dvs B är en harmonisk funktion. Därmed antas dess extrema enligt maximumprincipen på randen av området (dvs området som innehåller magnetiska fältlinjer). Då den lilla magneten som ska levitera attraheras av magnetfält med ökande styrka (B växer) så kommer den att attraheras åt det håll där B ökar. Och det fortstätter tills den når maximum, vilket är på områdets rand. Den lilla magneten stannar inte förrän den slår i något annat (en större magnet, hinder av annat slag, etc).

Det går faktiskt att kringå detta, och verkligen bringa permanentmagneter att levitera i statiska magnetfält!

Finns 2 metoder.
1) Meissnereffekten, där en liten magnet kan fås att levitera ovanför en supraledare. Detta då supraledaren är ogenomtränglig för magnetiska fält (iaf upp till någon övre nivå), och fungerar som "spegel" för magnetfältet. Denna typ av supraledare är en perfekt diamagnet.
Numera finns keramiska material som blir supraledare vid temperaturer ovanför flytande kväves kokpunkt (-195,8 gr C), och det blir då tekniskt och ekonomiskt möjligt att utföra experiment med dessa material.

2) Man kan också utnyttja en annan typ av diamagnetisk levitation, där en liten skiva pyrolytisk grafit (ett av de starkaste diamagnetiska materialen) fås att levitera över några starka supermagneter. Finns att köpa sådana färdiga kit (eller delar till dem) på eBay!

Se bilder på http://cgi.ebay.com/Pyrolytic-Graphi...QQcmdZViewItem
Även http://sci-toys.com/scitoys/scitoys/..._graphite.html

Elektrostatik
Liknande gäller för elektrostatiska fält. Elektrostatiska potentialen f (ska egentligen vara grekiska lilla fi) satisfierar i ett område utan laddningar Laplaces ekvation. Då följer analogt att f:s extrema antas på randen av området. Alltså måste den elektrostatiska potentialen anta extrema på randen av området (elektrodytorna), men aldrig någonstans i området utanför elektrodytorna.

Om jag inte är helt fel på det, så brukar värmeledningsekvationen härledas med överväganden om energitransporten genom randytan, och därav följande upphettning av materialet inuti. Därtill en värmelag, som är en "värmeanalog" till Ficks första diffusionslag. Kan formuleras som f = - a*grad T, där f är värmeflödesvektorn, a är en konstant. Tolkas som att värmeflödet sker i den riktning där temperaturen avtar snabbast. Sedan en del vektoranalys (Gauss´sats) på det, så får man en integralrelation.


Ur integralerna fås värmeledningsekvationen Laplace(T) = k*dT/dt.
Här är T temperaturen som funktion av 4 variabler x,y,z,t dvs T(x,y,z,t); dT/dt är temperaturens tidsderivata; k är en konstant.

Fysikerna skriver ofta k som värmeledningskonstanten, vilken i sin tur består flera olika konstanter (värmediffusivitet och värmeledningsförmåga etc). Har glömt de fysikaliska detaljerna. Och så var det kanske nåt förbannat minustecken med, har glömt det också.

Diffusionsekvationen är en analog till värmeledningsekvationen, och beskriver koncentrationsförädnring i tid och rum vid ämnestransport genom diffusion.

Om vi för temperaturen antar att efter någon tid nås stationärt tillstånd (dT/dt = 0), följer att T är en harmonisk funktion. Påståendet om skalets temperatur följer därefter direkt ur maximumprincipen.

Jämförelse: Det fysikaliska resonemanget vid härledningen av värmeledningsekvationen påminner en hel del om härledningen av kontinuitetsekvationen inom elektrodynamiken:
ökningen av laddningarna inuti området är lika med inflödet av laddningar genom områdets randyta.
Då fås en tidsderivata inuti en trippelintegral, en ytintegral, använd Gauss sats på det, och så följer kontinuitetsekvationen.


Brasklapp: någon fysiker får rätta mitt snubblande över konstanterna.

Ska drista mig till att ge ett kanske något provocerande svar.

Speglar vänder inte på saker höger-vänster. Istället är det riktningen in-ut som kastas om! Dvs riktningen in i spegeln-ut ur spegeln kastas om.

Tänk dig ett hörn av en kub som består av pinnar. Där finns i hörnet 3 pinnar som möts, de 3 pinnarna kan fungera som koordinataxlar i detta fall.
Du vänder hörnet så att du har en axel i sidled (x-axel), en i höjdled (y-axel) och en som pekar in i spegeln (z-axel).

Jämför nu det hörn du håller i handen med det du ser i spegeln. I spegelbilden pekar x-axeln åt samma håll som den x-axel du håller i handen. Samma sak gäller för y-axeln.

Det som kastas om vid reflektion i spegeln är istället z-axelns riktning! Den z-axel du håller i handen pekar från dig in i spegeln. Men den reflekterade z-axel du ser i spegeln pekar i rakt motsatt riktning.

Således är det riktningen in i spegeln-ut ur spegeln som omkastas vid en reflektion, inte vänster-höger.

*nu får jag kanske på pälsen*

Jag har för mig att jag läst en förklaring som går ut på att det enbart sitter i ögats (hjärnans) tolkning av det den ser som ger detta fenomen. Jag tror att det var i boken På tal om fysik av Bodil Jönsson. Är det nån som har den och kan titta efter?

Tackar och bugar för denna seriösa utläggning på min kanske inte heltigenom seriösa frågeställning.

Ja, precis. Hade de varit fyrkantiga hade man kunnat stoppa ner dem där.