Citat:
Ursprungligen postat av
Hedning1390
Ett diagram kan representeras med en matris A. Kolumnerna i A summeras till 1.
Lösningen till ekvationssystemet AX=X är (a,b,...)*t. Om vi väljer t så att a+b+...=1 blir detta exakt samma vektor som
lim n->inf för A^n*(1/k,1/k,...) där k är antal element i X.
Jag är inte så bra på linjär algebra, men finns det något bevis för detta som jag kan förstå?
Handlar det om en Markov-kedja? I så fall är komponenterna i X sannolikheter och då har vi också villkoret att de måste vara
positiva. Har im3w1l rätt i att det också ska ses som en premiss att det bara finns EN lösning X till AX=X? Annars kan man ju ha fler beroende vad det är för A. Tänk bara t ex om A är identitetsmatrisen.
Citat:
Ursprungligen postat av
im3w1l
Låt v_n = A^n (1/k, 1/k, 1/k,...)
Eftersom kolumnerna i A alla summerar till 1. kommer summan av talen i v_(n+1) vara samma som summan av talen v_n. En viss kolumn berättar hur en given komponent av vektorn ska delas upp, och vi säger alltså att delarna summerar till 1.
Eftersom (a,b,...) löser AX=X är (a,b,...) en egenvektor till matrisen A med egenvärde 1.
Antag att det finns en annan egenvektor u med egenvärde k. Summan av komponenterna för u multipliceras med k. Men samtidigt vet vi att summan av komponenterna bevaras. Alltså måste komponenterna i u summera till 0. Eller så måste egenvärdet vara 1.
Av formuleringen "Lösningen till ekvationssystemet" kan vi utlösa att detta är den enda lösningen, dvs det finns bara en egenvektor med egenvärde 1. Alla andra egenvektorer har komponenter som summerar till 0.
Jag försökte få fram att inga egenvärden kan vara större än 1, men det verkar inte stämma.
Verkar riktigt, utom det sista ifall detta handlar om Markov. För ett egenvärde > 1 eller < -1 skulle då alltså gälla någon egenvektor med komponentsumman = 0, med både plus och minus för komponenterna. Så om ursprungsvektorn har en sådan komponent (det har den nog) så tar den ju snabbt över i AⁿX med sannolikheter som blir både > 1 resp negativa (men iaf summa = 1).
