Från A till B kortare än en rak linje

Låt en allmän kurva mellan två punkter r₀ och r₁ beskrivas av r(t), där t är en kurvparameter (det är ok att tänka på t som tiden), mellan 0 och 1. För alla sådana kurvor (iaf de differentierbara) ges då sträckan s av
s = ∫(ds/dt)dt = ∫√(v²) dt
där v=dr/dt=r' och v²=v•v.
Här har vi också infört lite notation för vektorer (fetade symboler), primtecknet ' som tidsderivata, och så undertrycker vi ofta argumentet t och låter det vara underförstått (dvs t ex v istället för v(t)).

Vi varierar nu detta. Dvs istället för r(t) använder vi r(t)+δr(t) där δr(t) är variationen som antas vara liten, och med δr(0)=δr(1)=0. Och v byts då förstås mot v+δv där δv= δr'.
Detta ger
s + δs = ∫√((v+δv)²) dt.
Och så tar vi differensen mellan de båda uttrycken för s+δs resp s. Notera att skillnaden ligger i integranderna, och att dessa är av typen
√(a+δa) - √a
där a=v² och δa=2v•δv, och att (Maclaurinutveckling till första ordningen)
√(a+δa)-√a = δa/(2√a)
+ högre ordningar i δa som går mot 0 snabbare än δa. Differensen mellan integraluttrycken blir alltså
δs = ∫v•δv/√(v²) dt
Detta uttryck är besvärligt pga derivatan v=δr'. Men i integralen kan vi hantera detta med partiell integration. Dvs
δs = [δr•v/√(v²)] - ∫ δr • ( v/√(v²) )' dt
och eftersom δr är 0 i ändpunkterna, försvinner den första delen och vi får kvar
δs = - ∫ δr • ( v/√(v²) )' dt

Nu kräver vi att variationen δs är 0 för ALLA små variationer δr med fixa ändpunkter enligt ovan. Dvs att
0 = ∫ δr • ( v/√(v²) )' dt.
Det enda sättet som detta kan vara sant för ALLA δr(t) är om
( v/√(v²) )' = 0
dvs om den normerade riktningsvektorn
v/√(v²) = konstant längs hela linjen. Dvs en rät linje. Och den allmänna lösningen med r(0)=r₀ och r(1)=r₁ är
r = r₀ + f(t) (r₁-r₀)
där f(0)=0 och f(1)=1, t ex med f(t)=tᶜ med c>0.

Men detta säger egentligen bara att den räta linjen är en stationär punkt i rummet av alla tänkbara linjer. För att visa att den är ett minimum måste vi behålla upp t o m andra ordningen i variationen. Meckigare, men det går. I detta står då t ex δ²s för andravariationen, dvs alla termer upp t o m andra ordningen (och INTE för δs², dvs förstaordningen i kvadrat). Vi har då först att
s + δs + δ²s = ∫√(v²+2δv•v+δv²) dt
och vi måste använda att
√(a+δa+δ²a) - √a = (δa+δ²a)/(2√a) - δa²/(8√a³)
+ högre ordningar, dvs
δs + δ²s = ∫ δv•v/√(v²) dt
+ ∫ ( δv²/(2√(v²)) - (2δv•v)²/(8√(v²)³ )dt
Den första raden känner vi igen från ovan som δs som är 0 för en rät linje. Kvar blir δ²s som kan skrivas om till
δ²s = ∫ ( δv² - (δv•v)²/v² ) dt /(2√(v²))
Uttrycket i den första parentesen är inget annat än kvadraten på den komposant av δv som är vinkelrät mot v. Dvs med
δvᵥ = δv - δv•v/√(v²)
har vi dels att δvᵥ•v=0 och dels att δvᵥ² är uttrycket i parentesen i uttrycket ovan för δs. Dvs
δ²s = ∫ δvᵥ² dt /(2√(v²))
med en integrand som är ≥ 0. Alltså är
δ²s ≥ 0
och δ²s = 0 enbart om δvᵥ är identiskt lika med 0. (Däremot påverkas förstås inte banans längd av hastighetsförändringar längs med banan, dvs ändringar av f(t) i lösningen.) Eftersom s bara kan bli längre av variationerna från en rät linje, är den räta linjen kortast.

-----

Som brukligt har jag använt notationen att t ex
δv² = δv•δv
Detta är dock lite inkonsekvent med prioriteringsreglerna eftersom δ står för differens och att kvadraten borde ha högre prioritet. Dvs tolkat på det sättet borde egentligen δv²=δ(v•v). För att vara riktigt tydlig borde man alltså skriva (δv)², men då blir det fler parenteser i uttrycken vilket i sig gör det mer svårläst.

Rummet av alla kurvor r(t) mellan r₀ och r₁ är oändligtdimensionellt, eftersom det krävs oändligt många värden för att specificera kurvan för alla t. Kurvans sträcka s är en funktion på detta rum. Problemet handlar alltså om att hitta extremvärden för denna funktion med villkoret δs=0, och sen visa att det är ett minimum med δ²s≥0.