Vilken vinkel har diagonalerna i högre dimensioner?

I två dimensioner har vi såklart de två dimensionernas räta vinkel och där förstår jag att vinkeln är 45 grader för den diagonella linjen i jämförelse med kvadraten. Går det att generalisera vad vinkeln kommer vara i alla högre dimensioner också, hur då i så fall?

Det fixar man med skalärprodukt.
https://sv.wikipedia.org/wiki/Skalärprodukt

Hyperdiagonal: d = (1,1,1,...,1)
som har normen (längden)
|d| = √(d•d) = √D
Välj hyperplanet som du vill jämföra med som det som har x1=0, dvs det som har
Normalvektor: n = (1,0,0,...,0)
med längden
|n| = 1.
Vinkeln φ mellan två vektorer d och n ges generellt av
cos φ = d•n/(|d|•|n|)
vilket i detta fall ger
cos φ= 1/√D
Vinkeln du söker är
90°-φ = arcsin(1/√D)

Ex:
2D: arcsin(1/√2) = 45°
3D: arcsin(1/√3) = ca 35.26°
4D: arcsin(1/2) = 30°
...

Normalt sett när man pjojiceras 4e dimention så talar man om volymämdring. T.ex en kvadrat som minskar och t.ex ökar..En vinkel är ju per definition alltid tvådimentionell..I en 3 dimensionell kub så är i te nödvändogtvis en 45 gradig vinkel mot bottenplanet även en totalt sett 45 gradig vinkel utan ( 0 -90 grader )

På samma sätt kan den rent hypotetiska 4e dimentionella kuben, som är en variabel solid form från en 3e dim. sätt, också variera.

I en kub utgör en vinkel 2 delvinklar. T.ex 90 grader Y och 0 grader X.

Poängen är att vinkeln kommer att begränsas inom extremerna 0-90 grader därför att den är en kub men för varje ny dimension så består vinkeln av lika många nya delkomponeneter.

I 4e dim. så består den upp till 3 X, Y och Z komponenter. Kanske t.om en till, lägespunkten i 1a dim. ??

I förra inlägget använde jag begrepp från första algebrakursen på universitet & högskola, men det kanske kan verka lite abstrakt. Låt oss bygga upp det lite mer intuitivt.

2D: Diagonalen bildar en triangel tillsammans med höjden a=1 och basen b=1, så hypotenusan blir alltså
c=√(a²+b²)=√(1²+1²)=√2
Den sökta vinkeln ges alltså av
arcsin(a/c) = arcsin(1/√2)

3D: Rymddiagonalen bildar en triangel tillsammans med höjden a=1 och basen, som nu är diagonalen i basytans kvadrat, b=√2. Hypotenusan blir alltså
c=√(a²+b²)=√(1²+√2²)=√3
Den sökta vinkeln ges alltså av
arcsin(a/c) = arcsin(1/√3)

4D: Hyperrymddiagonalen bildar en triangel tillsammans med höjden a=1 och basen, som nu är rymddiagonalen i bashyperytans kub b=√3. Hypotenusan blir alltså
c=√(a²+b²)=√(1²+√3²)=√4
Den sökta vinkeln ges alltså av
arcsin(a/c) = arcsin(1/√4)

Etc.