Kan alla tal uttryckas på något sätt med färre siffror än vanligt?

För tal med få siffror är det ju svårt att föreställa sig, 8 är en siffra jämfört med 2^3 som är två siffror.

Men till exempel 9^9 är ju färre siffror än att skriva ut 387420489, så hur stor andel av alla tal i takt med att de skrivna i bas tio kan uttryckas på annat sätt med hjälp av färre siffror rent generellt?

Går det att spekulera kring hur det skiljer sig åt mellan alla tal som består av 1, 10 respektive 100 siffror i bas tio till exempel. Eller hur stor skillnad det innebär att byta ut basen.

Använder du talet som bas så kan ju vilket tal som helst beskrivas med en siffra

Nä, två siffror blir det om talet används som bas! Om talet + 1 används som bas går det med en siffra.

De flesta tal går inte att uttrycka kortare, vilket man lätt inser om man tänker på hur många de är. Det finns 10^100 tal med 100 siffror. Skulle man försöka uttrycka alla dem med t ex 90 siffror får man problemet att det bara finns 10^90 sätt att kombinera 90 siffror så man kan bara få med 1 av 10^10 tal. Börjar man lägga till extratecken som '+', '-' etc kan man få med fler, men då förlorar man å andra sidan utrymmesvinsten.

Om du inte inskränker dig till en bas på 10 blir det fler siffror som kan skrivas "kortare". Om du t-ex- skulle utgå från ett tjog där du har individuella siffror för 1-19 (Man måste införa 10 nya siffror) och det utskrivna 10 skulle då vara tjugo.

För att svara på den frågan behöver du nog vara lite mer specifik. Du nämnde potenser, så jag antar att du även menar de fyra räknesätten.

Bara som exempel så kan jag göra så här om jag har helt fria tyglar:

Definiera funktionen f(x)=x+1

Nu kan jag uttrycka vilket heltal som helst med bara en siffra.

1=f(0)
2=f(f(0))
21=f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(0)))) )))))))))))))))))

Ja okej jag skulle sagt att det handlar om att minimera antalet tecken som behövs sammanlagt.

Jupp, jag anade det. Men du behöver fortfarande vara lite mer specifik.

+,-,* och / är ju uppenbarligen ett tecken var. Men hur är det med potenser? Normalt skriver man ju inte 2^3 utan 2³. Och vilka andra tecken är tillåtna?

Hexadecimalt är ju ett "sifferfattigare sätt att uttrycka tal men då används ju bokstäver för att ersätta 10-16. Så det decimala sättet är nog optimalt för människan med tanke på att vi dessutom har 10 fingrar..

Detta kanske:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_complexity

Då gör du en lista på antal tecken du vill tillåta och använder längden på denna som bas. Ju fler tillåtna tecken desto större bas och desto färre tecken behövs för att beskriva ett tal. Det finns ingen anledning att blanda in räknesätt etc.

Nästan alla reella tal är oberäkningsbara, en följd av att mängden av alla algoritmer är uppräknelig medan mängden av reella tal är ouppräknelig.

https://sv.wikipedia.org/w/index.php...e_view_desktop

Dvs de allra flesta reella tal går inte beskriva på ett kortare sätt än att bara skriva upp dem.