Hjälp med uppgift om Fourierserier

Funktionen f är 2*Pi-periodisk och uppfyller att

f(t) = { sin(t), 0<=t<=π
{ 0 , -π <= t <= 0

a) Bestäm f:s trigonometriska Fourierserie.

Jag har räknat ut konstanten i uttrycket för f:s trigonometriska Fourierserie c0 till 1/Pi,
och jag siktar nu in mig på att bestämma konstanterna Ak och Bk i samma uttryck.
Aᴷ = Cᴷ - C-ᴷ = 2/T ∫ f(t)*cos(kΩt)*dt
Bᴷ = i(Cᴷ - C-ᴷ) = 2/T ∫ f(t) * sin(kΩt) * dt
Cᴷ = 1/T ∫ f(t) * e^(-ikΩt) * dt

(där ∫ betecknar integralen över perioden P, här (-π, π)).

Min tanke var att använda den senare formeln för Aᴷ, dvs. 2 / T ∫ f(t)*cos(kΩt)*dt, där integralen är över perioden P. Efter några rader av uträkningar får jag

Aᴷ = 2/T( sin kΩπ + kΩ ∫ cos(t) cos(kΩt) dt) ,

där integralen gäller från 0 till π. Ett förtydligande finns här:
https://gyazo.com/485c16974eb6c07ff33f3a3cbdacd941
https://gyazo.com/d1f25d02208429c66b3ff70e2d6c051a

Jag skulle gärna vilja ha er feedback på min lösning, och återkoppling på om jag har tänkt/gjort rätt. Det enda jag kan komma att tänka på som lösningsmetod för den sistnämnda integralen är partiell integration, är detta rätt?

För att integrera sin(t) sin(kt) och sin(t) cos(kt) kan du använda "product-to-sum"-identiteterna här:
https://en.wikipedia.org/wiki/List_o...uct_identities

c0 = 1/π vilket ger a0 = 2/π, så det är rätt.

Men sedan börjar det, tyvärr, bli rörigt i dina räkningar, du blandar P och T och Omega vet jag inte riktigt var den kom in.

Tag och titta en gång till på definitionen av ak och bk och tag en i taget. Det är inte speciellt svårt men man måste ha prydliga och "kamerala" uträkningar för att få rätt på dessa uppgifter.

Ok, jag gjorde det och jag fick 2 * sin(t) * sin(kt) = cos(t-kt) - cos(t+kt)
och 2 * sin(t) * cos(kt) = sin(t+kt) - sin(t-kt).


Ska jag tolka f(t) i integraluttrycket som f(t) = sin (t), även om sin(t) bara gäller 0≤t≤Pi?


Det står så i definitionen:

Anta att f är en T-periodisk L1-funktion. Då kallas

Aᴷ = 2/T ∫ f(t) * cos(kΩt) dt,
Bᴷ = 2/T ∫ f(t) * sin(kΩt) * dt, där integralen gäller över en period.
Ω betecknar vinkelfrekvensen.

OK, Ω = 2π/T

Nja, bara delvis. Integralen från 0 till 2π reduceras till integralen från 0 till π:
∫_0^2π f(t) sin(kt) dt = ∫_0^π sin(t) sin(kt) dt

Detta är en del av en obligatorisk inlämningsuppgift på kursen Funktionsteori vid LTH.

I instruktionerna anges:

• Om du kör fast eller är osäker så använd alla tillgängliga hjälpmedel, läroboken, övnings-
samlingen, dina lärare, kamrater, .. .för att komma vidare.
Det betyder dock inte att
det är tillåtet att någon annan förser dig med en fullständig lösning! Det är heller inte
tillåtet att fråga efter lösningar på onlineforum.

TS:
"…Jag skulle gärna vilja ha er feedback på min lösning, och återkoppling på om jag har tänkt/gjort rätt. Det enda jag kan komma att tänka på som lösningsmetod för den sistnämnda integralen är partiell integration, är detta rätt?"

Jag ser ingen 'efterlysning' av fullständig lösning av TS och igen sådan har heller givits här på FB (vad jag vet). Ledtrådar och rekommendationer har dock givits.

TS:s fråga och följdfrågor ligger på samma nivå som denne hade frågat "…dina lärare, kamrater…".

Att sedan 'lärare' (och jag skriver det ordet med viss tveksamhet mer ofta numera) inte orkar göra en tenta och samla folket i en skrivsal i 5 timmar och sedan rätta uppgifterna (som på min tid), det är en helt annan diskussion. Vad är det för trams med "här är en uppgift, gör vad du vill för att lösa den, googla, whatever..."?

Om jag missat någon explicit efterlysning av en komplett lösning av TS ber jag om ursäkt, naturligtvis.

Tack för informationen. Jag håller dock med Math-Nerd om att TS hittills har hållit sig inom gränsen för det tillåtna. Och nu vet hen att vi vet vad som gäller, vilket minskar risken att hen frestas att gå över gränsen.

”Använd alla tillgängliga medel”.
I allra flesta fall kan eleven använda online hjälpmedel för att få svaret.

Det viktiga är väl ändå lösningen.
Om examinatorn vill erhålla fullständig lösning för att visa kunskaper bör man använda sig av skriftlig tentamen.