Konsekvenser av denna grändsvärdesdefinition?

Nu saknas ju tyvärr möjligheten att infoga snygga matematiska symboler här men jag ska göra mitt bästa.

Jag läser just nu Analys i en variabel och Analys i flera variabler av Arne Persson samt Lars-Christer Böiers. Gränsvärdet introduceras i kapitel 2 i första bocken (en variabel) och omnämns också tidigt i andra boken (flera variabler).

Författarna ger en definition för gränsvärdet enligt:
|x - a| < delta => |f(x) - L| < epsilon
Alltså om vi finner ett delta som beror på ett (nollskillt) positivt epsilon för alla x som går mot a så har funktionen f gränsvärdet L i den punkten.

Det medges emellertid tidigt i boken att denna definition INTE är standardiserad. Istället skriver författarna att gränsvärdet vanligen kräver att beloppet |x - a| är nollskillt, det vill säga:
0 < |x - a| < delta => ...
men förklarar vidare att detta resulterar i ett mer komplicerat ("mindre naturligt / intuitivt") bevis för räkneregeln med gränsvärden av sammansatta funktioner (composition på engelska).

Således framgår ju en konsekvens av detta gränsvärdesbegrepp direkt ur boken. Men jag misstänker också att begreppet kontinuitet, som ju kan definieras med hjälp av gränsvärden, också påverkas av detta. Författarna menar nämligen att en funktion är kontinuerlig i en punkt a då ovan (det första) gränsvärde existerar. Existensen av detta gränsvärde skulle också enligt författarna försäkra oss om att funktionsvärdet i denna punkten är lika med gränsvärdet. Skulle inte definitionen för kontinuitet i en punkt a annars definieras genom att gränsvärdet (enligt andra definitionen) existerar i punkten med värdet L OCH att funktionen är definierad i punkten med funktionsvärdet f(a) = L?

I andra böcker, t.ex. Calculus: A complete course, används den senare definitionen. I boken ges också exempel på enkla intervallsfunktioner (piecewise function på engelska) var en diskontinuitet föreligger sådan att den resulterar i att höger- och vänstergränsvärde existerar (och är lika: gränsvärde existerar alltså) men funktionsvärdet är ändå skillt från gränsvärdet. Detta kan åstadkommas rätt så enkelt med en intervallfunktion som antar värdet för en överhuvudtaget kontinuerlig funktion (låt oss säga ett polynom p(x)) i alla punkter utom en, och ett värde skillt från p(a) i punkten a.

Kan någon komma på fler konsekvenser med denna gränsvärdesdefinition och förklara hur författarna har tänkt? Jag tycker det är dålig stil. Hur skulle ni bevisa att f(g(x)) -> L givet att g(x) -> a och f(t) -> L då t -> a med den mer korrekta / standardiserade definitionen?

1. Du vet att g(x) går mot a när x går mot a <=> Det finns alltså ett d1 som uppfyller
0 < |x - a| < d1 => |g(x) - g(a)| < e1.
2. Du vet att f(t) går mot L när t går mot a <=> Det finns alltså ett d2 som uppfyller
0 < |t-a| < d2 => |f(t) - f(a)| < e2.

Du vill visa att gränsvärdet f(g(x)) -> L när x->a <=> 0 < |g(x) - g(a)| < d3 => |f(g(x)) - f(g(a))| < e3.

Finns det ett tal d3 som uppfyller 0 < |g(x) - g(a)| < d3, svaret är ja enligt punkt 1 ovan, d3=e1 enligt punkt 1, vi vet ju att det finns ett tal d1 som uppfyller punkt 1. På samma sätt blir d2=e1 i punkt 2. Därför kan vi sluta oss till att
|f(g(x))=t - f(g(a)=a)=L| < e2, enligt punkt 2.

Dessutom är det ingen skillnad med eller utan nollan, de täcker samma fall ändå.

Det ska inte stå g(a) och f(a) i absolutbeloppen här, utan gränsvärdena a och L. Oklart i vilken punkt gränsvärdet g(x) -> a gäller. Hur som helst är påståendet falskt om jag tolkar det rätt. Som motexempel kan man definiera f och g som

f(a) = L + 1 och f(x) = L för övriga x,
g(x) = a för alla x.

Då är f(g(x)) = f(a) = L + 1 för alla x.

Man måste också tänka på att gränsvärdet kan vara olika om man närmar sig från vänster eller från höger. Typ
f(x) = |x| / x
som vid x nära noll kan ha värdet +1 eller -1

Inga seriösa svar?

Jag misstänker själv att den tidigare definitionen främst ger upphov till en felaktig, men i sammanhanget "ett första möte med högskölematematik", praktisk definition för kontinuitetsbegreppet.

Min fråga var alltså vilka ytterligare konsekvenser denna kan resultera i.

Kontinuitetsbegreppet som boken ger blir ekvivalent med det vanliga kontinuitetsbegreppet. Det finns nog inte så mycket mer intressant att säga, författarna har en lite avvikande smak i en fråga som på det stora hela är en smaksak.

Inte alls. Jag anser att jag har förklarat varför redan.

Du har fel. Om du anser att definitionen i din bok ger ett annat kontinuigetsbegrepp än det vanliga så får du ange en explicit funktion som är kontinuerlig med den ena definitionen och inte med den andra (men du kommer inte lyckas för begreppen är ekvivalenta).

Om begreppen är ekvivalenta varför medger författarna i så fall att beviset för en räkneregel med gränsvärden skiljer sig mellan dem två?

Orsaken till att jag frågar i denna tråden är för att få det hela klart för mig. Jag kommer främst att tänka på intervallfunktioner så som:

f(x) = p(x), x =/= 2; 4, x = 2.
och p(2) =/= 4.
Var p(x) är en kontinuerlig funktion.

Med "bokens gränsvärdesdefintion" tillåts avståndet till punkten x = 2 anta noll så att gränsvärde och funktionsvärde förblir identiska i punkten x = 2. Med den mer vanligt förekommande definitionen för gränsvärde blir gränsvärdet i punkten x = 2 istället funktionsvärdet för p(x), som skiljer sig från f(x), det vill säga: gränsvärde och funktionsvärde skiljer sig. f(x) är inte kontinuerlig och kan inte heller visas kontinuerlig genom att gränsvärde och funktionsvärde är identiska som fallet ter sig med "bokens definition".

De båda gränsvärdesdefinitionerna är således inte ekvivalenta. Jag vill nu återigen understryka att meningen med hela tråden är att de två gränsvärdesdefinitionerna irriterar och förvirrar mig. Jag ställer frågor för att jag inte redan har svaren.

Därför att bevisen blir lite annorlunda. Gränsvärdesbegreppen är annorlunda men leder till ekvivalenta kontinuitetsbegrepp.


I alla punkter utom x=2.

I den ena (bokens) definitionen av gränsvärde existerar inte gränsvärdet när x går mot 2 och i den andra definitionen är gränsvärdet 2, i inget av fallen är funktionen kontinuerlig då gränsvärdet måste existera och faktiskt vara funktionens värde i punkten.
Funktionen är inte kontinuerlig med "någon" definition. Nu börjar det kanske klarna lite hur du funderar, implikationen |x - a| < delta => |f(x) - L| < epsilon måste gälla för alla x som uppfyller första villkoret (det räcker inte med att det räcker för x=a, delta får inte vara 0).


Det är det nog ingen som säger.

Ok