Vad är så speciellt med primtal? Varför denna häpnad? +fler dumma frågor om primtal

Jag är kort och gott nyfiken på varför så många matematiker och intresserade fastnar så för primtal.

Jag har nog inte bemödat mig att fundera över frågan tillräckligt. Hjälp mig att göra det.

Varför kan det vara intressant? Jag förstår att det är något slags mönster(?) Men varför är detta mönster mer intressant än andra mönster?

Valfria bonusfrågor:
1. Kan "primtalmönster" observeras i naturen?
2. Finns det något särskilt användningsområde av dem än att de är bra vid kryptering?
3. Tror ni att mönstret kan förklaras via enklare logiska regler (som inte känns lika häpnadsväckande)? Typ som det gyllene snittet

Tänk på vilket naturligt heltal som helst. Kalla talet för X.

Aritmetikens fundamentalsats lyder att för heltalet X, så finns det en unik uppsättning av N primtal P_1, ..., P_N, där N är ett heltal, sådant att man kan beskriva X genom att multiplicera primtalen med varandra, och man kan beskriva produkten av primtalen med X:

X = P_1 * ,..., * P_N, och P_1 * ,..., * P_N = X, respektive. Notera att ordningen på hur primtalen multipliceras inte har någon betydelse för beskrivelserna.

Man kan säga att primtalen är liksom en adress till X. X's byggstenar består av dessa primtal som finns i uppsättningen. X är fundamentalt ihopkopplad med dessa primtal, och dessa primtal är fundamentalt ihopkopplade med X. Primtalen säger något fundamentalt om alla heltal.

Så nu kan man klia sig på huvudet och fråga sig av alla tal som är primtal, varför är det just de talen som är prim? Om man ställer upp alla primtal i storleksordning, uppenbarar sig något mönster som kan ge ytterligare insikt om deras natur? Kan vi använda dess natur till något användbart för Människan?
Vad menade Skaparen när han skapade just denna ordning? Eller, vad är det för uppfinning Människan har uppfunnit egentligen?

Du kan jämföra primtal som atomer för heltal. Att räkna med heltal är bland det första man började använda matematik till. I början kan man ha räknat kor eller mängder vid handel eller likande. Heltalsaritmetik har varit och är med andra ord väldigt användbart och fruktbart för mänskligheten.

Alla heltal >1 kan på ett entydigt (ett och endast ett, bortsett från ordning!) uppdelas i en produkt av primtal. Det är aritmetikens fundamentalsats, vilken är precis den bulletproofnow beskrivit.

Primtal kan vara intressanta för dess tillämpningar, exempelvis inom kryptografi. Det kan även vara intressant av mer fundamentala anledningar, ungefär som fysiken för världen. Ett sätt att beskriva strukturen av naturliga tal i termer av dess fundamentala beståndsdelar.

Unik uppsättning stämmer inte pga kommuativa lagen.
ex 6=3*2=2*3
Ser att du skriver det längre ner nu dock men är det inte fel ordval att kalla unik?

Uppsättning här syftar på själva amlingen primtal, inte ordningen de multiplicerss i.

Nu förstår jag intresset! Bra förklaringar av er. Jag hade nog i bakhuvudet att primtalens produkter kunde användas för att representera alla tal, men har aldrig tänkt i termer av att det hade kunnat tolkas som universums beståndsdelar.

Det låter ju faktiskt grymt intressant

Jag tänkte fråga om primtalen inte är beroende av vårt decimala talsystem men googlade istället, och det är oberoende av vårt talsystem.

Hmm. Undrar hur det vore om man hade börjat använda primtalen som enda siffroror istället, om det hade underlättat matematiska upptäckter.

Jag vill mig minnas att jag såg ett klipp av Numberphile där man ritade upp alla primtal och fick fram ett mönster. Mönstret är inte felfritt, men någonting kan man helt klart tyda


Edit:
Syftade på detta:
https://youtu.be/iFuR97YcSLM

Edit 2:
Verkar finnas flera typer av mönster beroende på hur man ställer upp:
https://www.google.se/search?q=prime...=lnms&tbm=isch

Det ultimata mönstret hade väl varit om man fann ett exakt mönster. Då hade man väl kunnat förutspå nästa primtal, och av vad jag förstått så är det mycket svårt att hitta nya primtal(?)

Tror ni att det kan finnas något sådant mönster?

Eftersom de är de multiplikativa byggstenarna till heltal, funkar de bra i bråkräkning. 651420 / 1078 är inte så kul att räkna ut utan miniräknare, men om man känner till täljaren och nämnarens byggstenar/faktorisering och uttrycker talet som en produkt av dem istället...

(2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7 * 11 * 47) / (2 * 7 * 7 * 11)

...kan man bara stryka dubletterna:

(2 * 3 * 3 * 5 * 47) / (7)

Förkortning var ett dåligt exempel kanske. Viktigare när man adderar/subtraherar bråktal och behöver hitta den gemensamma nämnaren. Som 15 / 144 + 1 / 5000.

Hur viktiga rationella tal, dvs tal som kan uttryckas som kvoten mellan två heltal, sen är kan säkert diskuteras. Så fort man använder högre operationer än addition, subtraktion, multiplikation eller division på dem, t.ex. drar kvadratrötter eller använder trigonometriska funktioner, eller blandar in konstanter som e eller pi, blir de i regel irrationella. Dvs kan inte längre uttryckas som kvoten mellan två heltal.

Primtal leder till Fibonaccis talföljd, som leder till gyllene snittet.
Det vill säga, allt vi tycker är vackert!

https://youtu.be/4ToUaU4vPks

Primtal dyker upp i många eleganta sammanhang som i Riemanns zeta function:
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_..._zeta_function