Linje mellan motsatta hörn på ytan av en hyperkub?

Råkade byta plats på 1/3 och 2/3. Det ska vara

Ännu ett kul resultat!
Det där tror jag man kan lura ut spec nu när vi troligen har svaret.
Fast nu har du gett mig en del att fundera på för ett tag framöver.

Nu har jag tittat lite närmare på detta och kommit fram till att vägens längd är sqrt((n² + 1)/2) och att vinkeln faktiskt är densamma i alla steg, som ju efterfrågades av TS.

Några dimensioner som utmärker sig är n = 1, 7, 41, 239, 1393, ..., där den här vägen har heltalslängd.

Jag uppskattar generaliserade svar på sådana här frågor men är alldeles för dålig själv för att svaren men det är intressant att följa en process och lättare för mig att förstå nu i alla fall, så tack för svaret!

Talserien har några intressanta egenskaper. Kanske någon av dessa "artiklar" kan bistå er mera?

Newman-Shanks-Williams Numbers

Ändrar mitt inlägg.

Vilket d är det på sidorna med din formel? Får det inte att funka riktigt när jag gissar. Vilken vinkel? Hur gjorde du?

Tack för frågeställningen! Kul problem. Fast nu ligger jag lite efter själv.

Större Edit!

Ställer man upp det så där är det uppenbart att vi har att göra med ett optimeringsproblem. Vi har alltså en funktion
s(a,b,c,...) = √(1²+a²+b²) + √((1-a)²+(c-b)²+d²)
+ √((1-c)²+(e-d)²+f²) + ...
i parameterrummet {(a,b,c,...)} med kanter eftersom 0≤a≤1, 0≤b≤c≤1, 0≤d≤e≤, etc.

Ett globalt minimum finns då antingen där alla partialderivator
∂s/∂a, ∂s/∂b, ∂s/∂c, etc är 0 ELLER på någon kant, dvs där minst en av parametrarna a, b, c etc ligger på sin nedre eller övre gräns. Generellt i såna här problem måste ALLA kombinationer undersökas, så det här kan snabbt väldigt bökigt.

Jag var lite otydlig ser jag nu. Jag syftade bara på fallet med udda n och d = 2. Jag kan skriva ner lite detaljer senare i dag.


Sen får man hoppas att den kortaste vägen kan skrivas så och att det bara finns ett minimum. Det går kanske att bevisa.

För udda n och d = 2 har vi matrisen

där a_0 = 0 och a_(n-1) = 1. Jag formulerade tidigare a_i i termer av k, där n = 2k + 1, men det är nog enklare att hålla sig till n:

Jämna i: a_i = i/(n - 1)
Udda i: a_i = (n - i)/(n + 1)

Med avståndsformeln och lite omskrivningar får man avståndet s_i mellan rad i och rad (i - 1):

Jämna i: s_i = i * 1/(n² - 1) * sqrt(2*(n² + 1))
Udda i: s_i = (n - i) * 1/(n² - 1) * sqrt(2*(n² + 1))

Summerar man detta från i = 1 till i = (n - 1) får man efter lite besvär fram den totala längden s = sqrt((n² + 1)/2). Det finns kanske ett lättare sätt med tanke på vilket enkelt uttryck som faller ut...

Angående vinkeln kan vi säga att lutningskoefficienten från rad (i - 1) till rad i är a_i/(1 - a_(i-1)) = ... = (n + 1)/(n - 1) för jämna i och (1 - a_(i-1))/a_i = ... = (n + 1)/(n - 1) för udda i, så i det avseendet är vinkeln konstant. En rak linje på den utvecklade hyperkuben?

Hinner inte göra så mycket, men har iaf försökt titta lite på det analytiskt. Iaf den ovanstående lösningen för [5,2] kan man få fram med WolframAlpha:

http://m.wolframalpha.com/input/?i=M...%29%5E2%2B1%29

Men högre n än 5 fixar den inte... Lyckades även göra det ovanstående för hand, men för högre n blir det allt bökigare. Fast det ska nog iaf inte vara SÅÅÅ omöjligt att bara verifiera din lösning.

Intressant problem; jag har inget att bidra med själv nu, men en amerikansk kontakt hade följande förslag på kortaste längd för det generaliserade problemet (M,N)

[21:11] <Other guy> So, length = sqrt( M *(N/M)^2 + (N/M * 2 + 1) * (N%M) ), if I did that right ("/" and "%" being integer divide and remainder).

vilket enligt honom också blir Chepitos formel för M=2 och udda N

[21:23] <Other guy> 2 * ((N-1)/2)^2 + ((N-1)/2 * 2 + 1) * 1
[21:23] <Other guy> (N-1)^2/2 + N
[21:23] <Other guy> (N^2+1)/2