Linje mellan motsatta hörn på ytan av en hyperkub?

Likt en kvadrats linje är sqrt(2), en tredimensionell kub är sqrt(5) är min fråga vad det är för en hyperkub med dimension D=>4, vad är sambandet mellan längden på linjen och hur många dimensioner hyperkuben har?

Nix. sqrt(3)
sqrt(D)

Läs min fråga igen, jag sa på ytan av kuben och inte igenom den.

Kanske en naiv fråga, men hur kommer du fram till √5 och vilken väg tänker du dig på ytan?

Alltså vad jag menar är en symmetrisk linje där dess vinklar i de trianglar över alla kvadraters yta den skär igenom är likadana. I fallet med en kvadrats linje mellan motsatta hörn över dess yta lika med sqrt(2) och på en kub tvärsnittet över ytan på två kvadrater lika med hypotenusan sqrt(5) då övriga sidor är 1 respektive 2.

Jag ser nu hur du får √5.

Tyvärr har jag ingen lösning just nu för R^n.
Kanske Chepito/Nails m.fl. kommer med en snart.
Detta kan omöjligen vara ett nytt problem. Jag fann dock bara R^3 när jag sökte på Nätet.

Rimligtvis borde väl då R^n innebära att en hyperkub kan ha n olika typer av diagonella linjer likt R^3 har 1+sqrt(2), sqrt(3) och sqrt(5).

Kul om man föreställer sig att sträckan mellan hörnen har motsvarande kvadratrot av olika heltal beroende på hur många dimensioner lådan har och hur många den projiceras i.

Typ att vända ut och in på en låda i 3 respektive 5 dimensioner för sqrt(3) igenom lådan och sqrt(5) på ytan så allting i 2D skulle kunna vara en grid för var alla kvadratrötter överlappar potentiella sätt till uttryck för högre dimensioner.

Kanske inte det bästa exemplet, kan komma tillbaka med en bättre förklaring om jag hittar något eventuellt svar på min ursprungliga fråga.

Jo, rymddiagonalen i en kub är sqrt(3). Diagonalen längs ytan är sqrt(2); sätt in detta och den vinkelräta kantlinjen med längd 1 i Pythagoras' sats!

Intuitivt känns det som att man borde kunna fortsätta på samma sätt: tag kubens rymddiagonal och förflytta dig vinkelrätt mot den 1 längdenhet, vilket skulle ge "hyperdiagonalen" längden 2, men jag måste erkänna att jag har svårt att visualisera högre dimensioner...

Ställ frågan på ett amerikanskt forum för matematik - jag är säker på att detta är ett välkänt problem och det finns åtskilligt skrivet om det. Säkerligen finns det en topologisk aspekt på det hela med praktiskt tillämpning. Det finns artiklar om att färdas på ett "New York-gatusystem" på ytan av en kub, dvs. ett "New York" klistrat på en kub och tillhörande minimeringsproblem för att färdas A-B. Rätt invecklad matematik, men inte oöverkomlig om man sätter sig ner lite och tänker.

Jag vet att rymddiagonalen i en kub är sqrt(3), jag pratar om ytdiagonalen för en kub alternativt hyperkub vilket för en kub är 1+sqrt(2) och sqrt(5).

1+sqrt(2) är för övrigt också kallad ”silver ratio” då det som kedjebråk uttrycks som 2:2,2,2...

Vad Denom är ute efter är inte den traditionella diagonalen som man alltid stöter på i Gy-matte utan ytdiagonalen. Om du tar en kub och skär upp den och lägger ut den på bordet kommer du att se att en sida är 2 (2 kub sidor) och 1 sida är 1 vilket ger 2^2+1=5 i Pythagoras sats. Denom efterlyser denna diagonal i ett allmänt fall med n dimensioner.

Lite info HÄR även om de behandlar ett annat problem, så är bilden längre ner en beskrivning av Denom:s problem i R^3.

Okej, nu har jag visualiserat det i 4/5 dimensioner och det här är vad jag får fram:

Högre dimensioners ytdiagonal går att göra allt lägre i varje ytterligare dimension!

I och med att rymddiagonalen i R^4 är sqrt(4)=2 innebär det att motsvarande ytdiagonal som sqrt(5) är för R^3 kommer resultera i att R^4 skulle ha en ytdiagonal motsvarande gyllene snittet då (sqrt(5)+1)/2 på hyperkuben är förenklade formen av var linjens sträcka skär igenom vad jag skulle uttrycka som:

(√((√2^√2^√2...)^(√2^√2^√2...))+((2:2,2,2...)-(√2))/((√2^√2^√2...)/(√2^√2^√2...))=φ

Genom att kombinera de tre olika diagonalerna 1+√2, √3 och √5 från R^3 för en fjärde vinkelrät linje till varje hörn i R^4 är φ ytdiagonalen på en hyperkub.