Kul problem! Jag räknade lite på n-simplex (eller hypertetraedern).
Om en n-simplex utökas med ett hörn så kommer det nya hörnets avbildning på det gamla hyperplanet ligga i den ursprungliga n-simplexens mittpunkt. (För en tetraeder så är det nya hörnet rakt ovanför triangelns mittpunkt)
Låt D(n-1) beteckna avståndet till mitten från ett hörn i en "n-1"-simplex. Då ligger det nya hörnet på höjden h från det hyperplan som "n-1"-simplexen ligger i. Eftersom simplexens sida är 1 så är
h = sqrt( 1 - D(n-1)² )
Den nya simplexen kommer ha en mittpunkt som är medelvärdet av alla punkter, och den kommer ligga mellan den gamla mittpunkten och det nya hörnet. Låt M(n) vara mittpunkten för en n-simplex, och p0 ... pn dess hörn. Då är
M(n) = (p0 + p1 + ... + pn) / n = ( (n-1)*M(n-1) + pn) / n
Men punkten pn kan ersättas med M(n-1)+h*ĥ, där ĥ är en enhetsvektor ortogonal mot det förra hyperplanet.
M(n) = ( (n-1)*M(n-1) + M(n-1)+h*ĥ,) / n = ( n*M(n-1) + h*ĥ,) / n = M(n-1) + (h/n) ĥ
Så den nya mittpunkten ligger på höjden h/n över den gamla mittpunkten. Det gör det möjligt att beräkna D(n)
D(n)² = D(n-1)² + (h/n)² = (1 + (n²-1) D(n-1)²)/n²
vilket har den slutna formeln D(n) = sqrt( (n-1) / 2n ).
