Hur ska man tänka när man bevisar vektorekvationer med hjälp av indexnotation?

Jag ska skriva en tentamen i Kontinuumsmekanik på LTU nu efter sommarlovet, och en sak som jag inte riktigt förstår är det här att använda indexnotation för att bevisa olika vektorekvationer.
Jag vet vad indexnotation är för någonting, och jag kan också i många fall hoppa mellan vektornotation och indexnotation, men tentaproblemen är ju i vanlig ordning mycket svårare än de flesta övningsuppgifterna.
Här är två exempel på uppgifter i den här stilen:

http://www.image-share.com/upload/3811/28.jpg

http://www.image-share.com/upload/3811/27.jpg

Jag frågar inte nödvändigtvis hur man löser just de här uppgifterna, utan jag visar dem bara som ett par exempel.
Hur ska man tänka här, egentligen?
Jag har märkt att det ibland kan fungera att expandera vektorekvationerna och "hitta ett mönster".

Är det inte att du skall visa att om det gäller för fallet 1, 2 osv .. så gäller det även för fallet n <= k där då n avser index i en vektor med k element?

Kan inte förstå det på något annat sätt, men mattematikens onödiga krånglighet upphör ju sällan att förvåna.

Du verkar blanda ihop med induktionsbevis.

Första uppgiften:
(∇r)_i = ∂_i r
= ∂_i √(∑_j x_j²)
= (∂_i ∑_j x_j²) / (2√(∑_j x_j²))
= (2 ∑_j x_j ∂_i x_j) / (2√(∑_j x_j²))
= (∑_j x_j δ_ij) / √(∑_j x_j²)
= x_i / √(∑_j x_j²)
= x_i / r
= (r / r)_i

Detta visar att ∇r = r / r.

Den första förstår jag inte beteckningarna på.

Den andra är Lagranges formel, eller trippel-produkt, bevis finns här
Triple product

Ah.. Trodde att de med "visa med indexnotation" menade det som din länk visar som "tensornotation", vilket verkar lite väl avancerat för den här nivån (tänker på de användbara identiteterna med Levi-Civita-symboler).

Ett bra bevis.
Jag hade nog "hoppat" mellanleden då ∂_i ∑_j x_j² = 2x_i

Tack.


Jag ville vara explicit.

Det där är enligt vad Math-Nerds länk kallar för "tensornotation". Kan det vara så att det TS problem menar med "indexnotation" är det som används i första beviset under "Proof" i Math-Nerds länk? Dvs utan numrerade index i och j, bara med index x, y och z. I så fall blir ditt bevis
(∇r)_x = ∂_x r
= ∂_x √(x²+y²+z²)
= (∂_x (x²+y²+z²)) / (2√(x²+y²+z²))
etc tills
= x / r
och liknande för y och z-komponenterna, vilket ger
∇r = (r / r)

Möjligen är TS även obekant med notationen
∂_x f = ∂f/∂x
resp
∂_i f = ∂f/∂x_i

---
Tittade på TS första länk igen, och enligt deras hint så verkar det ju ändå vara "tensornotation" som de avser med "indexnotation".
My bad.

För den andra uppgiften behöver man införa något för att uttrycka kryssprodukten. Jag antar att ni använder levi-civita-symbolen e_ijk för det. Med den kan man skriva om kryssprodukten a x b till e_ijk a_j b_k. För e_ijk gäller att e_ijk = -e_jik = e_jki osv. För att ledigt använda den är det bra att kunna några identiteter utantill (t.ex. den jag använt nedan). Se wikipedia för mer info.
Då har man: b x (c x d) = e_ijk b_j (e_klm c_l d_m) = e_ijk e_klm b_j c_l d_m = e_kij e_klm b_j c_l d_m
här tillämpar man en identitet för levi-civita-symbolen: e_kij e_klm = delta_il delta_jm - delta_im delta_jl
det ger:
b_j c_i d_j - b_j c_j d_i = c(b . d) - d(b . c)

Utvecklar lite (i princip samma sak). Några bra minnesregler:

(i) Du kan permutera indexen cykliskt utan förändring. Om vi bara betraktar index så ijk = jki = kij.

(ii) Om du byter plats på index icke-cykliskt måste du lägga på ett minustecken så ijk = -jik och jki = -kji exempelvis.

(iii) För att få använda Levi-Civita identiteten med Kroeneckerdeltan måste sista indexet i båda epsilon vara samma. Om de inte är det från början så får du flytta om index så att det blir det.

(iv) Skriv om a x b som (a x b)_i innan Levi-Cevita. Det är kyssprodukten av (a x b) i riktning i. Skalärtrippelprodukt. Det förklarar också beteckningen €_ijk lite bättre, eftersom det är kryssprodukten av a_j och b_k i riktning i.

(v) Två eller fler lika index ger noll, så €_kkj = 0 exempelvis.