Frågor om linjär algebra

Hejsan

1)

n:et i R^n står för antalet rader i en eller flera vektorer. T.ex. är vektorn v=(2,1,0) i R^3.

En "m x n-matris" är en matris beståendes av m rader och n kolumner.

Har jag missuppfattat något här? Om inte, är det inte bra dumt att använda just n i R^n när det hade varit betydligt mer begripligt att använda R^m istället eftersom m redan representerar rader när det gäller matriser?

2)

Min bok gör inte någon distinktion mellan vikter och skalärer. Är de exakt samma sak?


----

Jag har fler frågor men avvaktar lite innan jag ställer dem, behöver få grepp om dessa mer fundamentala saker först.

Tacksam för all hjälp!

1) n anger rummets dimension. Så ja, vektorn (2,1,0) hör till R³ osv
2) vet inte

1) En vektor representerar en punkt (eller vektor) i rummet, t.ex. (2,1) i R^2, (2,1,0) i R^3, (2,1,0,0) i R^4 osv. En matris har generellt ingen "rums-representation" utan är en "beräkningsteknisk operator" (i brist på bättre ord). I sin enklaste form (n=1 eller m=1) liknar en matris en vektor vilket kan vara förvillande.

2) Nej, boken gör ingen skillnad men "vikt" beskriver mera talens "funktion" är dess egenskap/typ. Exempel är "viktat medelvärde". Troligen handlar din bok/ditt exempel inte om strikt generell matematik utan har någon vinkling där det finns anledning till att tala om "vikter".

En skalär är ett tal medan en vektor är en vektor, skalär är inte samma sak som vektor. En vektor har en riktning och en längd. En vektor v = c1 * e_1 + c2 * e_2 där c1 och c2 är dess vikter. Antag att skalären c1 > c2 då är vektorn v viktad mer i e_1 riktning än e_2 riktning.

[quote=Math-Nerd|64887844]En vektor representerar en punkt (eller vektor) i rummet, t.ex. (2,1) i R^2, (2,1,0) i R^3, (2,1,0,0) i R^4 osv. En matris har generellt ingen "rums-representation" utan är en "beräkningsteknisk operator" (i brist på bättre ord). I sin enklaste form (n=1 eller m=1) liknar en matris en vektor vilket kan vara förvillande.

Okej, då är jag med!

Som jag förstår det så är en matris en transformation av "bakgrundslinjerna". T.ex:

Identitetsmatrisen (1,0) och (0,1) ger ett plan med en horisontell x-axel och en vertikal y-axel.
Matrisen (1,1) och (0,1) vinklar x-axeln 45 grader moturs men behåller y-axeln vertikalt.

Sedan kan man applicera en (eller flera) vektor(er) på dessa bakgrundslinjer och beräkna var de landar någonstans:
Ax=b



Tack för klargörandet

[quote=SmokeOn|64888809]
Ja, det är korrekt. En matris kan innehålla "vektor-relaterade element" och på så sätt, vid multiplikation, invers, transponat m.m. representera olika geometriska "effekter" som spegling, vinkling, rotation projektion etc.

Från boken:


Ska jag tolka detta som att A måste vara en "n x n"-matris eller ska jag tolka det som att antalet kolumner i A måste vara minst lika många som antalet rader?

Jag tolkar det som att "T är en avbildning från R^n till R^m om och endast om A:s kolonnvektorer spänner upp R^m". Eller? Vad tycker du?

Boken ger ett exempel:


Jag förstår hur författaren menar. Om jag radreducerar A så får jag en tom rad längst ner och vektorn b kommer bara vara i R^2. Avbildningen blir alltså bara ett plan (som skär genom origo?) i det tredimensionella rummet som utgörs av R^3 (som i det här fallet är R^n).

Det jag undrar är om jag redan vid blotta åsynen av A kan räkna ut rumsdimensionerna i R^m.

Min föreställning av hur det här fungerar är följande:

Om A har en kolumn färre än rader så kommer R^n = R^(n-1) [n ∈ ℤ+]
Om kolumner=rader stämmer överens så kommer R^n = R^m
Om A har kolumner>rader så kommer jag få fria variabler vilket gör att en eller flera b är avbildningar av mer än en vektor i R^n. Alltså borde R^m = antalet rader.

Har jag fel?

Vad menar du med Menar du dimensionen av R^m?

Ojdå, ja precis. Vet inte varför jag skrev som jag gjorde

EDIT: Alltså antalet rader ovanför den första raden med endast nollor i den utvidgade trappstegsmatrisen A.

Ordet 'onto' översätts 'på', inte 'till'. En avbildning f från X till Y är 'på' Y om varje y i Y är bilden av minst ett x i X. För att en linjär avbildning T: R^n -> R^m ska kunna vara 'på' är det nödvändigt, men inte tillräckligt, att n >= m.