När och varför tar det exakta slut?

Vill först tillägga att det går och uttrycka logaritmens primitiva funktion. Du löser det med partialintegration

Som svar på din fråga, det exakta existerar i mitt tycke bara inom teoretisk matematik. All form av teknik bygger i grund och botten på att vi applicerat matematik för att beskriva något fysikaliskt, där avrundningen är godtycklig beroende på vilken noggrannhet som krävs.

När det gäller din tanke om analogt/digitalt är det snarare så att du räknar/simulerar fram resultat (som följer de nödvändiga naturlagarna) innan du ens ger dig på att försöka bygga det. Och ja, att matten faktiskt funkar som språk för att beskriva vår verklighet är inget annat än fantastiskt.

Fantastiskt och fantastiskt, det är en följd av att verkligheten är logisk. Om den inte hade varit det, hur hade den då kunnat fungera? Du vet kausalitet och sådana saker.

Även "kaotiska" system kan vara/är logiska. Det fantastiska är väll att hyfsat enkel matematik fungerar rätt bra. Newtons lagar är ju typ bara några enkla diffekvationer. Det är ju inte omöjligt att tänka sig ett universum där även någorlunda bra approximationer kräver fullständigt "absurda" matematiska uttryck.

Och?



Matematik har ju den egenskapen att den är enkel om man kan den, komplex om man inte kan den. Det är således inte särskilt fantastiskt.


Naturlig exakthet är sannolikt tämligen absurt matematiskt eftersom naturliga förlopp oftast är dämpade, men residualtermerna blir ofta snabbt försumbara.

Newtons modeller är tex inte korrekta, det saknas termer exempelvis vid relativistiska tillämpningar eller i kvantmekaniska tillämpningar, men det saknar praktisk betydelse på makronivå.

Jag tror du missuppfattar vad jag försöker säga.

Newtons lagar är på sin höjd typ andra ordningens differentialekvationer och åstadkommer väldigt bra approximation av hur saker fungerar. Om det krävdes säg en ekvation av ordning 2 miljoner för att åstadkomma samma sak är jag tveksam till att den någonsin hittats. Att diffekvationer av ordning 2 är enkla jämfört med de av ordning 2 miljoner tror jag de flesta skulle hålla med om. Så jag står fast vid mitt påstående att det tycks räcka med rätt så enkel matematik för att beskriva universum rätt bra. Och att säga att det är fantastiskt ligger nära till hands.

Att saker som 1 + 1 fungerar har inget med verkligheten att göra, det är logik. När du har läst tillräckligt mycket matematik och undersökt tillräckligt många "ändar att börja i" med avseende på det specifika problemet/frågeställningen du försöker lösa så inser du att 1+1=2 är tankesättet som underlättar det dagliga livet för de flesta. En naturvetare, ingenjör eller annan högre matematiker ägnar sig kanske oftast till att förstå sig på exponentiala samband. Dessa står dock inte i motsats till den grundläggande aritmetiken utan är mer kompletterande i den logiska beskrivningen av samband.

Att 1+1 = 2 är dock en direkt konsekvens av de axiom som lägger grund för matematiken. Förstår inte varför folk tar upp det hela tiden. Bättre är isf att ta upp att 0,999...=1 eller att 1-1+1-1+1... = 1/2.

Well put! Ibland måste man bara försöka förklara saker utifrån kritikerns synvinkel.

Ok, att approximationerna är "enkla" beror ju som sagt på att naturen normalt är dämpad. Att beskriva den exakt är i allmänhet omöjligt.

Jag är inte övertygad om att något dämpningsfenomen är inblandat i det jag är ute efter eller försöker beskriva.

Man kan ju tänka sig ganska konstiga universum där det är svårt att tolka vad dämpning skulle betyda (eller jag ser i alla fall inte varför det skulle vara omöjligt), men där de fysiska lagarna fortfarande går att beskriva med mer eller mindre komplicerad matematik med olika grad av exakthet.

Ser inte varför dämpning skulle vara det som förklarar allting och gör det förväntat att i vårat universum så borde det finnas hyfsat enkla och bra matematiska approximationer.

Med dämpning menar jag att om du tex skall beskriva en kropps masscentrum så kan du anta att den är homogen och få en enkel integral. I verkligheten finns inga homogena kroppar och du behöver därför lägga till en term för varje nivå av exakthet du vill uppnå.

För varje term du lägger till minskar den praktiska betydelsen exponentiellt, varför det ofta räcker med den första (enkla) termen för att komma tillräckligt nära ur en praktisk betydelse.

Min poäng är någonstans att hur du än väljer ditt universum kommer det vara dämpat med ovan definition av ordet.

Varför jag väljer dämpat som begrepp är för att dämpad svängning mycket precist beskriver det jag försöker säga, det mesta av rörelsen är ofta gjord efter 2-3 svängningar, men rörelsen fortsätter teoretiskt i all oändlighet.

Bra fråga. Det beror på hur matematik tillämpas och vilka lösningsmetoder som finns eller inte finns att tillgå.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Numerisk_analys

Ibland är numeriska metoder överlägsna "exakta" matematiska modeller, uttryck. Ibland finns det inget annat att tillgå, antingen p.g.a. att "ren matematik" fortfarande ej funnit lösningar på problemen eller för att exakta lösningar helt enkelt inte existerar.