När och varför tar det exakta slut?

1 + 1 = 2 går bra att räkna ut exakt, likaså andragradsekvationer och enklare differentialekvationer. Men så småningom stöter man vid vissa punkter på inexaktheter/oändligheten. Det går t.ex. inte att uttrycka den primitiva funktionen för en logaritm, men man kan räkna ut det noggrannare och noggrannare tills man är hyfsat nöjd. Som för talet pi.

Vi lever i en analog verklighet, så att saker som 1 + 1 = 2 fungerar är ett under. Vi kanske har börjat i fel ände, och hela matematiken behöver skrivas om? När det gäller datorer, radio och TV, krävs det en hel del kunskap om det analoga innan man kan börja försöka emulera det digitalt.

Du tänker på irrationella tal. Tal som inte kan beskrivas som en kvot. Det är inget när. Det finns rationella tal, och det finns irrationella. Dom irrationella är fler, men båda är oändliga till antalet. Varför skulle matematiken behöva skrivas om? Den hanterar ju båda delarna.

Naturen / verkligheten är som du mycket riktigt skriver analog.
Det hindrar oss inte från att digitalisera när vi behandlar verkliga fenomen i digitala datorer och i digitala kretsar. För att de digitala lösningarna är praktiska, tillräckligt snabba och billiga.

Som du skriver man måste förstå naturen och naturlagarna för att kunna åstadkomma något vettigt inom teknik och vetenskap.

Anledningen är att analogimaskiner (som idag nästan helt har trängts undan av digitala lösningar) är instabila och har en del tekniska egenskaper som är besvärliga att hantera. Det hindrar inte att gamla analogimaskiner kan både imponera med stabilitet och livslängd och vara blixtrande snabba (jag tänker på regulatorer och en del gamla servolösningar).

Till din trådstart: När tar det exakta slut?
För såväl analoga som digitala lösningar tar det exakata slut när vi inte längre tillförlitligt kan bryta ner en storhet i mindre delar. Det kan finnas en mängd sådana lägen, dels rena matematiska och/eller naturliga omöjligheter (ex negativt kast, tal som är 0 eller oändligt stora, osv) i praktiska applikationer är det ofta någon form av brus eller distortion som sätter gränserna för vad som definieras som "exakt".

Kvantmekaniken är digital.

Vad menar TS med digitalt/analogt? Att det inte finns absoluta värden, endast grader?

De universella konstanterna då? Statslogik?

Om universum inte har några absoluta värden så är påståendet sant, vilket är ett absolut värde🤔


En annan sak, alla analoga formler går väl att uttrycka digitalt. Det är inga problem alls att skicka runt oändliga enheter i en dator.

Men visst, att titta på dem i oändlig detalj kräver en oändlig tid. Men frågan är om det inte är själva uppgiften som är ”fel”. Man kan väl med enkelhet omdefiniera uppgiften så att man ser på en mer specifik detaljnivå.

Kan det inte i teorin vara så att universums lagar är digitala funktioner? Det går bevisligen att representera det digitalt. Varför skulle det inte kunna vara det?

Det enda du behöver för hela universum är då två sanningar, typ sant/falskt, binärt.

Spekulerar vilt här som ni kanske märker...

Jaså, förklara.

Eller menar du att det bara finns två kvanttillstånd ?

Det finns många kvanttillstånd men dessa är diskreta, därför är kvantmekaniken digital.

Plancklängd och Plancktid indikerar även en diskret natur.

Då missförstod jag dig.

Den primitiva funktionen (dvs en obestämd integral) till ln(x) kan visst beräknas exakt. Det blir
x•ln(x) - x.
Är det möjligen något annat du menar med "primitiv funktion"?

Pi är ett exakt tal, men det är irrationellt.

Om jag försöker svara på den fråga du nog egentligen undrar om, så är de oändligt många decimalerna i reella tal aldrig fysikaliskt intressanta, bara matematiskt. T ex de mest exakta mätningarna i fysiken har "bara" 8 - 10 värdesiffror. Men detta är verkligen inte "bara". Det motsvarar t ex avståndet mellan jorden och månen med några cm noggrannhet! Exakt till vilken liten sten på månen mäter man då? Och exakt från vilken punkt på jorden? I detta fall är 10 siffrors noggrannhet uppenbarligen meningslös.

Så för t ex pi behöver man typ aldrig veta fler decimaler i pi än 3.141592654 -- dvs i fysik. Det är sant att det finns oändligt många fler men i fysik spelar inte dessa någon roll.

beror på mätinstrumentets upplösning

Frågan är ju vad du menar med exakt. Som Nerdnerd säger så är både pi och ex ln(x) exakta. Däremot kan vissa konstanter och funktioner inte uttryckas exakt med siffror. 1/3 är exakt men det går inte att skriva som decimaltal.

Matematik är en exakt vetenskap men fysiken är inte exakt. (Med risk att någon säger emot ...)