Oändligheter

lim (x-->2) (f(x) - 5)/(x-2) = 3
Hitta lim (x-->2) f(x)

Hur ska man tänka här?

Tja, antingen så är man lite klurig eller "regelvidrig"
Vi tar det sista först

(f(x)-5)/(x-2)=3
f(x)-5 = 3(x-2)
f(x)-5 = 3x-6
f(x) = 3x-6+5
f(x) = 3x-1

Alla vänner av limes-notering ryser säkert...

Eller så är man bara allmänt "listig" och "inser" att f(x)=3x-1 får täljaren f(x)-5 att bli 3x-6=3(x-2) varpå x-2 divideras bort och det står lim_{x\to2} 3 = 3

Att vara "listig" och "inse" är inte alltid lätt, det får jag hålla med om. Kör på den regelvidriga metoden, men tänk det bara, skriv inte ner det som lösning, ty det är inte en ekvation du löser, utan ett gränsvärde.

Edit: Såg inte att det var en följdfråga...

lim_{x\to2} f(x) = 3*2-1=5

Du kan tänka på det här sättet:

Gränsvärdet lim (x-->2) (f(x) - 5)/(x-2) är ett tal. Det går inte mot oändligheten. Vidare vet vi att lim(x-->2) (x-2) = 0. Om nämnaren är 0 måste även täljaren vara det, för annars hade gränsvärdet gått mot oändligheten (plus eller minus)

Alltså vet vi att lim (x-->2) (f(x) - 5) = 0

Lite omflyttning ger:

lim (x-->2) (f(x) - 5) = 0
lim (x-->2) (f(x) - 5) + 5 = 0 + 5
lim (x-->2) f(x) = 5

Formalisera problemet.

Ansätt: g(x) = (f(x)-5)/(x-2) ∀x som tillhör definitionsmängden

Givet:

∀x≠2 följer en algebraisk omstuvning:

(f(x)-5)/(x-2) = g(x) ⇒
(f(x)-5) = (x-2)g(x) ⇒
f(x) = 5+(x-2)g(x)

Gränsvärdet när x→2 fås då enligt:

Här har utan bevis nyttjats ett par satser för gränsvärden:



Men bevisen för dessa får du själv leta upp i kurslitteraturen!

Tankesättet är okej, men resultatet säger att f(x) måste vara 3x-1. Detta är inte korrekt. I stället gäller f(x) = 3x-1 + r(x), där lim (r(x)-5)/(x-2) = 0.

En korrektare hantering:
lim (f(x)-5)/(x-2) = 3
(f(x)-5)/(x-2) = 3 + ε(x), där lim ε(x) = 0
...
f(x) = 5 + (x-2) (3+ε(x))
lim f(x) = 5 + (2-2) · (3+0) = 5.

Ja, det är säkert korrekt, men troligen var frågeställningen från en Gy-bok varför "tala till bönder...". Annars blir det för avancerat vilket inte främjar TS, och personligen orkar jag inte (eller har tid) att hålla den detaljnivån på detta forum, speciellt inte med den begränsade teckenuppsättningen FB erbjuder.