Hjälp med faktorisering av andragradspolynom

Hej!

Jag har en uppgift att jag ska faktorisera 6-2x-4x^2. Jag ska göra detta genom att kvadratkomplettera och sedan använda konjugatregeln. Jag har testa göra detta genom att bryta ut -4 men det blir jobbiga siffror och svaret är stämmer inte överens med svaret i facit. [Svaret är 2(3+2x)(x-1)]. Jag får rätt om jag använder andra metoder, men om jag ska göra det genom att först kvadratkomplettera och sen använda konjugatregeln blir det fel...

Kan någon trevlig själ förklara för mig hur man går tillväga för att lösa uppgiften? Att använda mig av denna metoden då man inte har någon koefficient framför x^2-termen är däremot inga problem...

Visa hur du har gjort

Okej, jag började med att försöka kvadratkomplettera.

-4x^2 -2x +6

= -4(x^2+(1/2)x) +6

= -4(x+(1/4))^2 + (1/4) + 6

= -4(x+(1/4))^2 + (25/5)

Jag har ju fått reda på korrekt maxpunkt nu, (-1/4; 25/5), men jag tror inte jag kan komma vidare härifrån, vilket får mig att tro att jag har gjort fel på något sätt.

Edit: Jag har ju gjort första steget, vilket är att kvadratkomplettera, men jag kan ju inte använda konjugatregeln på mitt svar.

6 + 1/4 = 25/4, inte 25/5.


Visst kan du använda konjugatregeln:
25/4 - 4(x+(1/4))^2 = (5/2)^2 - (2x+1/2)^2 = (5/2 + (2x+1/2)) (5/2 - (2x+1/2))
= (3 + 2x) (2 - 2x)

Rötter: x = -3/2 och x = 1.

Eftersom det bara är en av dina koefficienter som är delbar med fyra skulle jag dela med något annat, två ligger nära till hands eftersom alla koefficienter och konstantenär delbara med två. Då slipper du ha en halva som ställer till det.

Tack! Slarvfel med 25/5... btw kan vara för att jag är trött, men hur gjorde du här: 25/4 - 4(x+(1/4))^2 = (5/2)^2 - (2x+1/2)^2. Hur blev - 4(x+(1/4))^2 till - (2x+1/2)^2?

Sant, men då får jag ju 2(-2x^2 -x +3). Då har jag ju fortfarande en jobbig koefficient framför x^2-termen. Om jag istället faktoriserar ut -2 har jag fortfarande en 2:a som koefficient på x^2-termen. Hur ska jag gå vidare sen då?

Jag krafsade lite på baksidan av ett kuvert, och kom fram till följande:

6 - 2x - 4x² = 0 (eftersom du skall faktorisera måste vi lösa denna ekvation)
2 ( 3 - x - 2x²) = 0

Tvåan framför parentesen spelar ingen roll, och kan då divideras bort:
3 - x - 2x² = 0

multiplicera båda sidor med -1 för att vända tecknena till något mer lätthanterligt:
2x² + x - 3 = 0

Nu har du en enkel andragradare som bör gå att lösa som vanligt (pq-formel). Jag fick dock lära mig att faktorisera enkla uttryck genom att leka lite med siffror och då får vi följande resonemang:
- tre är ett primtal, så när vi har ett uttryck (x-a)(x-b) så bör a och b vara ett och tre, men inte nödvändigtvis i den ordningen
- x²-termen har en tvåa som koefficient, varpå parentesuttryckket enligt ovan bör vara (2x-a)(x-b)
- nu gäller det "bara" att testa om a eller b skall vara ett, om a eller b skall vara tre.
- när vi lekt tillräckligt mycket kommer vi fram till (2x+3)(x-1)

Hela lösningen blir då 2(2x+3)(x-1).

Det är inte så svårt, man får hålla tungan rätt i mun bara.

xpqr12345 har rätt metodik rent allmänt, man brukar gissa en lösning, t.ex. x=1, och sedan göra en polynomdivision eller något liknande. Det finns ett hel arsenal med teori bakom koefficienter och lösningar men det lämnar vi därhän just nu eftersom vi skall göra uppgiften på det sätt som du önskar.

–4x^2 – 2x + 6
//Dividera med –4, men kom ihåg det, för vi skall återvända till det senare, vi ändrar nämligen polynomets värdemängd nu...//
x^2 + 1/2 x – 3/2
//Kvadratkomplettera, 1:a kvadreringsregeln//
(x + 1/4)^2 – (1/4)^2 – 3/2
(x + 1/4)^2 – 1/16 – 3/2
//Förläng med 8 för att få samma nämnare på de två sista termerna//
(x + 1/4)^2 – 1/16 – (3*8)/(2*8)
(x + 1/4)^2 – 1/16 – 24/16
(x + 1/4)^2 – 25/16
//25 och 16 är välkända kvadrater//
(x + 1/4)^2 – 5^2/4^2
//Tillämpa välkänd potenslag för bråktal//
(x + 1/4)^2 – (5/4)^2
//Konjugatregel, jag använder [ och ] bara för att göra det tydligare, de är i praktiken parenteser//
[ (x + 1/4) + 5/4 ][ (x + 1/4) – 5/4 ]
[ x + 1/4 + 5/4 ][ x + 1/4 – 5/4 ]
[ x + 6/4 ][ x – 4/4 ]
[ x + 3/2 ][ x – 1 ]

Men, detta uttryck är inte polynomet som vi började med, utan det "reducerade" polynomet. Eftersom vi dividerade med –4 tidigare måste vi nu multiplicera med –4 för att få tillbaka polynomets ursprunglig värdemängd.

–4(x + 3/2)(x – 1)

Detta är ett fullgott svar, och ett bättre svar än facits eftersom det tydligt visar polynoments nollställen, men vi fortsätter så vi kommer till facits svarsform.

För att "få bort" nämnaren i 3/2 multiplicerar vi in 2 (som vi lånar från –4).

–2 * 2 * (x + 3/2)(x – 1)
–2 * (2x + 2*3/2)(x – 1)
–2 * (2x + 3)(x – 1)
–2(2x + 3)(x – 1)

SVAR: –2(2x + 3)(x – 1)

Och där har du ditt svar.

Du hade gjort ett skrivfel ovan och skrivit 2 istället för –2.

Jag vill framhålla att alla polynom bör skrivas med konsekvent syntax varför jag personligen inte gillar "blandraser" som –2(3+2x)(x-1).

Allmän formel: a^2 b^2 = (ab)^2.
I det här fallet: 4(x+(1/4))^2 = 2^2 (x+(1/4))^2 = (2 (x+(1/4)))^2 = (2x+1/2)^2.