Två varianter av derivatans definition? Varför ekvivalenta?

Jag har sett två varianter av derivatans definition, men jag är inte med på varför dom är ekvivalenta. På Wikipedia står det:

lim x->x0 (f(x)-f(x0))/(x-x0) = lim h->0 (f(x0+h)-f(x0))/h

Jag är med på att de har använt h=x-x0, men ändå är f(x0) kvar i höger led. Jag tänker mig istället att det bordet vara:
lim h->0 (f(h+x0)-f(x-h))/h, varför är detta fel?

Vi börjar ju med lim x->x0 (f(x)-f(x0))/(x-x0) (**)
Sätt h=x-x0, dvs ska vi också substituera in:
x=h+x0
x0=x-h

I (**) blir detta
Nämnaren: h
Täljaren: f(h+x0)-f(x-h)
Gränsvärdet då x->x0 ger h->0

Sätter vi in detta i (**) fås:
lim h->0 (f(h+x0)-f(x-h))/h

Men enligt länken ska det vara lim h->0 (f(x0+h)-f(x0))/h.

Så felet är min f(x-h), men med substitutionen är detta rätt. I länken ändrar dom inte f(x0), varför?

Varför vill du bli av med x0? Det är ju i x0 vi vill veta derivatan. Det man gör är bli av med x (och ersätta med h och liten annan notation, som i princip är samma sak).

Det där blir ju ingenting. Sätter vi in h=0, så får vi:
(f(x0) - f(x))/0
som inte ger oss någonting; resultatet är ∞, förutom om f(x0) = f(x). Det är när vi får 0/0 som vi behöver gränsvärdesoperationen för att lösa det hela.